Что такое логарифм? приведите пример с логарифмом.

Логарифм — это математическая операция, которая отвечает на вопрос: «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить определенное число?» Другими словами, если возведение в степень находит результат (например, $2^3=8$), то логарифм находит саму степень (в какую степень возвели 2, чтобы получить 8?). Математическая запись Записывается это так: ${\log }_{a}b=c$Где:

• $a$ (основание) — число, которое мы возводим в степень. Оно должно быть положительным и не равным 1.
• $b$ (аргумент) — число, которое получается в итоге. Оно всегда больше 0.
• $c$ (значение логарифма) — показатель степени.

Простой пример Разберем выражение: ${\log }_{2}16$

1. Формулируем вопрос: В какую степень нужно возвести основание 2, чтобы получить число 16?
2. Считаем:
   • $2^1=2$ $2^2=4$ $2^3=8$ $2^4=16$
3. Результат: Так как $2^4=16$, то ${\log }_{2}16=4$.

Зачем нужны логарифмы Логарифмы превращают сложные операции в более простые:

• Умножение превращается в сложение: $\log \left(xy\right)=\log x+\log y$. Деление превращается в вычитание: $\log (x/y)=\log x-\log y$. Возведение в степень превращается в умножение: $\log \left(x^k\right)=k\cdot \log x$.

Особые виды логарифмов В математике и технике чаще всего встречаются два специальных вида:

1. Десятичный логарифм ( $\lg x$): логарифм по основанию 10.
   • Пример: $\lg 100=2$ (потому что ${10}^2=100$).
2. Натуральный логарифм ( $\ln x$): логарифм по основанию числа $e$ (приблизительно 2,718). Используется в физике, экономике и высшей математике.

Практический пример: Сложные проценты Представьте, что вы положили деньги в банк под 10% годовых с ежегодной капитализацией. Вы хотите узнать, через сколько лет ваша сумма удвоится. Уравнение будет выглядеть так: ${1.1}^x=2$. Чтобы найти $x$, нужно использовать логарифм: $x={\log }_{1.1}2\approx 7.27\text{года.}$Я могу составить таблицу основных свойств логарифмов или разобрать решение конкретного уравнения, если это потребуется.