Найти все корни уравнения sin x/2 = √3/2 , удовлетворяющие неравенству: log (х-4π) по основанию π <1.

Все корни уравнения $\sin (x/2)=\sqrt{3}/2$ , удовлетворяющие заданному условию, составляют множество, содержащее единственный элемент: $x=14\mathbf{\pi }\mathbf{/}\mathbf{3}$. ️ Шаг 1: Решение тригонометрического уравнения Уравнение имеет вид $\sin (x/2)=\sqrt{3}/2$ . Находим значения аргумента $x/2$: $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{3}+2\pi k⟹x=\frac{2\pi }{3}+4\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $\frac{x}{2}=\frac{2\pi }{3}+2\pi k⟹x=\frac{4\pi }{3}+4\pi k,k\in \mathbb{Z}$ ️ Шаг 2: Решение логарифмического неравенства Для выражения ${\log }_{\pi }(x-4\pi )<1$ определим область допустимых значений и решим неравенство. Так как основание логарифма $\pi >1$, знак неравенства сохраняется:

1. ОДЗ: $x-4\pi >0⟹x>4\pi$ По определению логарифма: $x-4\pi <{\pi }^1⟹x<5\pi$
   Таким образом, искомые корни должны принадлежать интервалу $(4\pi ,5\pi )$.

️ Шаг 3: Отбор корней Проверим корни из полученных серий на принадлежность интервалу $(4\pi ,5\pi )$:

1. Для первой серии $x=2\pi /3+4\pi k$:
   • При $k=1$: $x=2\pi /3+4\pi =14\pi /3$. Сравним: $4\pi <14\pi /3<5\pi ⟺12\pi /3<14\pi /3<15\pi /3$. Условие выполняется.
   Для второй серии $x=4\pi /3+4\pi k$:
   • При $k=1$: $x=4\pi /3+4\pi =16\pi /3$. Сравним: $16\pi /3>5\pi ⟺16\pi /3>15\pi /3$. Корень не подходит. При других значениях $k$ корни выходят за пределы интервала.

Ответ: 14\pi/3 Нужно ли подготовить аналогичный разбор для случая, когда в основании логарифма находится переменная?