Осевое сечение конуса правильный треугольник со стороной 6 сантиметров.найдите объмы конуса и описанного около него шара

Объем конуса составляет $9\pi \sqrt{3}$ см³, а объем описанного около него шара равен $32\pi \sqrt{3}$ см³. 1. Находим геометрические параметры конуса По условию осевое сечение конуса — правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a=6$ см. Из этого следуют два факта:

1. Диаметр основания конуса равен стороне треугольника: $d=a=6$ см. Следовательно, радиус основания конуса $r$ равен:
   $r=\frac{a}{2}=\frac{6}{2}=3\text{см}$ Высота конуса $H$ совпадает с высотой этого правильного треугольника:
   $H=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{см}$

2. Вычисляем объем конуса Объем конуса вычисляется по стандартной формуле $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}H$ : $V_{конуса}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 3\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 9\cdot 3\sqrt{3}=9\pi \sqrt{3}{\text{см}}^3$ 3. Находим радиус описанного шара Шар описан около конуса, если его поверхность проходит через вершину конуса и окружность основания. Это означает, что осевое сечение конуса (правильный треугольник) вписано в большой круг шара. Радиус шара $R$ равен радиусу описанной окружности правильного треугольника: $R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\text{см}$ 4. Вычисляем объем шара Используем формулу объема шара $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ :

1. Сначала возведем радиус в куб:
   $R^3=(2\sqrt{3}{)}^3=2^3\cdot (\sqrt{3}{)}^3=8\cdot 3\sqrt{3}=24\sqrt{3}$ Подставим в формулу:
   $V_{шара}=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 24\sqrt{3}=4\cdot 8\pi \sqrt{3}=32\pi \sqrt{3}{\text{см}}^3$

Ответ Объем конуса равен $9\pi \sqrt{3}$ см³, а объем описанного шара равен $32\pi \sqrt{3}$ см³. Требуется ли вам рассчитать отношение этих объемов или вычислить площадь полной поверхности данных фигур?