Построить график функции y=|x^2-x-2|, какое наибольшее число общих точек график функции может иметь с прямой параллельной оси абцисс? можно поподробнее, мало понимаю в этом

Для решения этой задачи мы сначала построим график квадратичной функции, а затем применим операцию модуля, которая отражает отрицательные значения в положительную область. ️ Шаг 1: Построение базового графика функции Рассмотрим функцию внутри модуля: $f\left(x\right)=x^2-x-2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.

1. Нахождение корней: Решим уравнение $x^2-x-2=0$. По теореме Виета или через дискриминант ( $D=1+8=9$) получаем корни $x_1=2$ и $x_2=-1$. В этих точках график пересекает ось абсцисс. Координаты вершины:
   • $x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{1}{2}=0.5$ $y_0=f\left(0.5\right)={0.5}^2-0.5-2=0.25-0.5-2=-2.25$ Вершина находится в точке $(0.5,-2.25)$.

️ Шаг 2: Построение графика с модулем Функция $y=|x^2-x-2|$ преобразует все отрицательные значения $y$ в положительные.

1. Участки графика, где $y\ge 0$ (при $x\le -1$ и $x\ge 2$), остаются без изменений. Участок графика, где $y<0$ (между корнями $-1<x<2$), зеркально отражается относительно оси $OX$ вверх. Точка вершины $(0.5,-2.25)$ переходит в точку $(0.5,2.25)$. График принимает форму буквы «W» с «ножками», уходящими в бесконечность, и «горбиком» посередине с вершиной в $y=2.25$.

️ Шаг 3: Анализ пересечений с горизонтальной прямой Прямая, параллельная оси абсцисс, задается уравнением $y=k$, где $k$ — константа.

• При $k<0$: 0 точек пересечения. При $k=0$: 2 точки (корни уравнения). При $0<k<2.25$: Прямая пересекает две внешние ветви параболы и две стороны «горбика». Итого 4 точки. При $k=2.25$: Прямая проходит через вершину «горбика» и две ветви. Итого 3 точки. При $k>2.25$: Прямая пересекает только две внешние ветви. Итого 2 точки.

Ответ: Наибольшее число общих точек равно 4. Хотите узнать, как аналитически (через уравнения) доказать количество корней для каждого диапазона значений?