Построить график и вычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной параболой у=х2+3х осью ох и прямыми х=2 х=3

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой $y=x^2+3x$, осью $Ox$ и прямыми $x=2$ и $x=3$, составляет $13\frac{5}{6}$ (или примерно $13.83$) квадратных единиц. ️ Шаг 1: Анализ функции и построение графика Для построения графика функции $y=x^2+3x$ определим её основные свойства. Это парабола, ветви которой направлены вверх.

• Вершина параболы: $x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-3}{2}=-1.5$ . Значение $y_v=(-1.5{)}^2+3(-1.5)=2.25-4.5=-2.25$. Точки пересечения с осью $Ox$: $x(x+3)=0$, следовательно $x_1=0$ и $x_2=-3$. Интервал интегрирования: На отрезке $[2,3]$ функция $y=x^2+3x$ принимает только положительные значения, так как оба слагаемых положительны. Это означает, что искомая площадь находится над осью абсцисс.

Для визуализации достаточно отметить точки:

1. При $x=2$: $y=2^2+3\left(2\right)=4+6=10$. При $x=3$: $y=3^2+3\left(3\right)=9+9=18$.

️ Шаг 2: Составление интеграла для вычисления площади Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь $S$ криволинейной трапеции вычисляется по формуле: $S={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$Подставляя наши данные, получаем: $S={\int }_2^3(x^2+3x)dx$️ Шаг 3: Вычисление определенного интеграла Применим формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную функции: $\int (x^2+3x)dx=\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}$ Теперь вычислим разность значений первообразной в точках $x=3$ и $x=2$: $S=[\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}{]}_2^3=(\frac{3^3}{3}+\frac{3\cdot 3^2}{2})-(\frac{2^3}{3}+\frac{3\cdot 2^2}{2})$ Выполним арифметические действия:

1. Для $x=3$: $\frac{27}{3}+\frac{27}{2}=9+13.5=22.5$ Для $x=2$: $\frac{8}{3}+\frac{12}{2}=\frac{8}{3}+6=\frac{8+18}{3}=\frac{26}{3}$ Итоговая площадь: $S=22.5-\frac{26}{3}=\frac{45}{2}-\frac{26}{3}=\frac{135-52}{6}=\frac{83}{6}=13\frac{5}{6}$

Ответ: Площадь криволинейной трапеции равна $\frac{83}{6}$ или $13\frac{5}{6}$ кв. ед. Нужно ли подготовить пошаговый алгоритм построения данного графика в тетради или рассчитать координаты дополнительных точек?