При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Для того чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98, системе потребуется произвести 5 выстрелов. ️ Шаг 1: Определение вероятности промаха при каждом выстреле Вероятность того, что цель не будет уничтожена при конкретном выстреле (вероятность промаха), равна $q=1-p$, где $p$ — вероятность попадания.

1. При первом выстреле: $q_1=1-0,4=0,6$. При каждом последующем выстреле ( $i>1$): $q_i=1-0,6=0,4$.

️ Шаг 2: Составление выражения для вероятности промаха после n выстрелов Событие «цель уничтожена хотя бы одним из $n$ выстрелов» противоположно событию «цель не уничтожена ни одним из $n$ выстрелов». Вероятность промаха при всех $n$ выстрелах вычисляется как произведение вероятностей промаха при каждом отдельном выстреле (так как выстрелы независимы): $P_{miss}\left(n\right)=q_1\cdot q_2\cdot q_3\cdot \dots \cdot q_n$Подставляя значения, получаем: $P_{miss}\left(n\right)=0,6\cdot (0,4{)}^{n-1}$️ Шаг 3: Решение неравенства для поиска минимального n Нам необходимо, чтобы вероятность уничтожения $P_{hit}\left(n\right)=1-P_{miss}\left(n\right)$ была не менее 0,98: $1-0,6\cdot (0,4{)}^{n-1}\ge 0,98$ $0,6\cdot (0,4{)}^{n-1}\le 0,02$ $(0,4{)}^{n-1}\le \frac{0,02}{0,6}$ $(0,4{)}^{n-1}\le \frac{1}{30}\approx 0,0333$ Проверим последовательные значения $n$:

1. При $n=3$: $(0,4{)}^{3-1}=0,16>0,0333$ (мало выстрелов). При $n=4$: $(0,4{)}^{4-1}=0,064>0,0333$ (мало выстрелов). При $n=5$: $(0,4{)}^{5-1}=0,0256$. Так как $0,0256\le 0,0333$, условие выполняется.

Рассчитаем итоговую вероятность для $n=5$: $P_{hit}\left(5\right)=1-0,6\cdot 0,0256=1-0,01536=0,98464$Это значение больше 0,98. Ответ: Для достижения заданной вероятности необходимо произвести 5 выстрелов. Нужно ли рассчитать математическое ожидание количества выстрелов для данной системы?