Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 110 градусов. а) найдите все углы треугольника. б) докажите, что середина основания равнобедренного треугольника равноудалена от прямых, содержащих боковые стороны

Углы треугольника равны ${70}^{\circ }$, ${70}^{\circ }$ и ${40}^{\circ }$. Шаг 1: Нахождение углов треугольника Пусть $△ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. По условию внешний угол при основании равен ${110}^{\circ }$.

1. Внутренний угол при основании $\angle BAC$ и внешний угол являются смежными. Сумма смежных углов равна ${180}^{\circ }$. Следовательно:
   $\angle BAC={180}^{\circ }-{110}^{\circ }={70}^{\circ }$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle BCA=\angle BAC={70}^{\circ }$. Сумма углов треугольника равна ${180}^{\circ }$. Находим угол при вершине $\angle ABC$:
   $\angle ABC={180}^{\circ }-({70}^{\circ }+{70}^{\circ })={180}^{\circ }-{140}^{\circ }={40}^{\circ }$

Шаг 2: Доказательство равноудаленности середины основания Пусть $M$ — середина основания $AC$, то есть $AM=MC$. Проведем перпендикуляры из точки $M$ к прямым, содержащим боковые стороны $AB$ и $BC$. Пусть $MK⟂AB$ и $MP⟂BC$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $△AKM$ и $△CPM$:

1. Гипотенузы этих треугольников равны по условию: $AM=MC$. Острые углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle KAM=\angle PCM={70}^{\circ }$. Следовательно, $△AKM=△CPM$ по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $MK=MP$.

Так как длины перпендикуляров $MK$ и $MP$ равны, точка $M$ равноудалена от прямых $AB$ и $BC$. Ответ: а) Углы треугольника равны ${70}^{\circ }$, ${70}^{\circ }$ и ${40}^{\circ }$. б) Доказано через равенство прямоугольных треугольников, образованных перпендикулярами из середины основания к боковым сторонам. Нужно ли подготовить аналогичное доказательство для случая, когда точка лежит на биссектрисе угла при вершине?