Производная sin^2 (2x)

Для нахождения производной функции $f\left(x\right)={\sin }^2\left(2x\right)$ необходимо последовательно применить правило дифференцирования сложной функции (цепочку). Пошаговое решение Функцию можно представить в виде вложенных зависимостей:

1. Внешняя функция: возведение в квадрат — $u^2$ Промежуточная функция: синус — $\sin \left(v\right)$ Внутренняя функция: аргумент — $2x$

1. Дифференцируем внешнюю функцию (степень): По правилу $\frac{d}{dx}\left[u^n\right]=n\cdot u^{n-1}\cdot u^{\prime }$ , получаем: $\frac{d}{dx}\left(\sin \right(2x){)}^2=2\cdot \sin (2x)\cdot \frac{d}{dx}(\sin \left(2x\right))$ 2. Дифференцируем синус: Производная $\sin \left(u\right)$ равна $\cos \left(u\right)\cdot u^{\prime }$: $2\cdot \sin \left(2x\right)\cdot \cos \left(2x\right)\cdot \frac{d}{dx}\left(2x\right)$ 3. Дифференцируем внутренний аргумент: Производная $2x$ равна $2$: $2\cdot \sin \left(2x\right)\cdot \cos \left(2x\right)\cdot 2$4. Упрощаем выражение: Перемножаем коэффициенты: $4\sin \left(2x\right)\cos \left(2x\right)$Финальный результат Используя тригонометрическую формулу двойного угла $\sin \left(2\alpha \right)=2\sin \alpha \cos \alpha$, ответ можно записать в более компактном виде, где $\alpha =2x$: $4\sin \left(2x\right)\cos \left(2x\right)=2\cdot \left(2\sin \right(2x\left)\cos \right(2x\left)\right)=2\sin \left(4x\right)$Ответ: $\left({\sin }^2\right(2x){)}^{\prime }=4\sin (2x\left)\cos \right(2x)=2\sin (4x)$Если вам нужно найти производную более высокого порядка или разобрать похожий пример с другими тригонометрическими функциями, я могу составить для вас таблицу соответствующих формул.