Провести полное исследование и построить график функции f(x)=(x+1)^1/3-(x-1)^1/3

Для проведения полного исследования функции $f\left(x\right)=(x+1{)}^{1/3}-(x-1{)}^{1/3}$ воспользуемся стандартным алгоритмом математического анализа. 1. Область определения и элементарные свойства

• Область определения ( $D\left(f\right)$): Так как корень нечетной степени определен для любого действительного числа, функция определена на всей числовой прямой: $x\in (-\infty ;+\infty )$. Четность/Нечетность:
  $f(-x)=(-x+1{)}^{1/3}-(-x-1{)}^{1/3}=(-(x-1){)}^{1/3}-(-(x+1){)}^{1/3}=-(x-1{)}^{1/3}+(x+1{)}^{1/3}=f\left(x\right)$.
  Функция является четной. График симметричен относительно оси $Oy$. Исследование можно проводить на луче $[0;+\infty )$. Точки пересечения с осями:
  • С осью $Oy$: $f\left(0\right)=(1{)}^{1/3}-(-1{)}^{1/3}=1-\left(-1\right)=2$. Точка $(0,2)$. С осью $Ox$: $(x+1{)}^{1/3}=(x-1{)}^{1/3}x+1=x-11=-1$ (решений нет). График не пересекает ось $Ox$.

2. Пределы и асимптоты

• Вертикальные асимптоты: Отсутствуют, так как функция непрерывна на всей области определения.
• Горизонтальные асимптоты:
  $\underset{x\infty }{\lim }\left(\right(x+1{)}^{1/3}-(x-1{)}^{1/3})=[\infty -\infty ]$.
  Используем формулу разности кубов $a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$ :
  $f\left(x\right)=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1{)}^{2/3}+(x+1{)}^{1/3}(x-1{)}^{1/3}+(x-1{)}^{2/3}}=\frac{2}{(x+1{)}^{2/3}+(x^2-1{)}^{1/3}+(x-1{)}^{2/3}}$ При $x\pm \infty$ знаменатель стремится к $+\infty$, следовательно:
  $\underset{x\pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.
  Прямая $y=0$ (ось $Ox$) — горизонтальная асимптота.

3. Исследование с помощью первой производной Найдем $f^{\prime }\left(x\right)$: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{3}(x+1{)}^{-2/3}-\frac{1}{3}(x-1{)}^{-2/3}=\frac{1}{3}(\frac{1}{\sqrt[3]{(x+1{)}^2}}-\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1{)}^2}})$

• Критические точки:
  1. $f^{\prime }\left(x\right)=0(x-1{)}^2=(x+1{)}^2{x}^2-2x+1=x^2+2x+1x=0$. Производная не существует при $x=1$ и $x=-1$ (точки возврата, "острия").
• Интервалы монотонности (для $x\ge 0$):
  • При $x\in (0,1)\cup (1,+\infty )$: выражение $\sqrt[3]{(x+1{)}^2}>\sqrt[3]{(x-1{)}^2}$ , следовательно, $f^{\prime }\left(x\right)<0$. Функция убывает на $[0,+\infty )$. В силу четности, функция возрастает на $(-\infty ,0]$.
• Экстремумы:
  $x=0$ — точка локального максимума. $f\left(0\right)=2$.

4. Исследование с помощью второй производной Найдем $f^{\prime \prime }\left(x\right)$: $f^{\prime \prime }\left(x\right)=-\frac{2}{9}(x+1{)}^{-5/3}+\frac{2}{9}(x-1{)}^{-5/3}=\frac{2}{9}(\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1{)}^5}}-\frac{1}{\sqrt[3]{(x+1{)}^5}})$

• При $x>1$: $(x-1{)}^5<(x+1{)}^5\frac{1}{(x-1{)}^{5/3}}>\frac{1}{(x+1{)}^{5/3}}{f}^{\prime \prime }\left(x\right)>0$ (выпуклость вниз). При $0<x<1$: $(x-1{)}^5$ отрицательно, $(x+1{)}^5$ положительно $f^{\prime \prime }\left(x\right)<0$ (выпуклость вверх). Точки $x=1$ и $x=-1$ являются точками перегиба.

5. Сводная таблица и характерные точки

6. Построение графика

1. Отмечаем точку максимума $(0,2)$. Отмечаем точки перегиба $(\pm 1,\sqrt[3]{2})$ . В этих точках касательные вертикальны, так как $f^{\prime }\left(x\right)\infty$ при $x\pm 1$. Проводим линию из $0$ (асимптота слева) вверх к максимуму и симметрично вниз к асимптоте справа. График напоминает «колокол» с двумя изломами (остриями) в точках $x=\pm 1$.

Хотите, чтобы я рассчитал координаты дополнительных точек для более точного построения?