Разложить на множители многочлен x^5+x^4-2x^3-2x^2-3x-3

Для разложения многочлена $x^5+x^4-2x^3-2x^2-3x-3$ на множители наиболее эффективным методом является группировка слагаемых. Шаг 1: Группировка слагаемых парами Заметим, что коэффициенты при парах степеней повторяются или пропорциональны. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(x^5+x^4)+(-2x^3-2x^2)+(-3x-3)$Шаг 2: Вынесение общего множителя из каждой группы Теперь вынесем за скобки общий множитель в каждой паре:

1. Из первой группы $(x^5+x^4)$ выносим $x^4$:
   $x^4(x+1)$ Из второй группы $(-2x^3-2x^2)$ выносим $-2x^2$:
   $-2x^2(x+1)$ Из третьей группы $(-3x-3)$ выносим $-3$:
   $-3(x+1)$

Получаем выражение: $x^4(x+1)-2x^2(x+1)-3(x+1)$Шаг 3: Вынесение общего многочлена $(x+1)$ Теперь мы видим общий множитель $(x+1)$ для всех трех слагаемых. Вынесем его за скобки: $(x+1)(x^4-2x^2-3)$Шаг 4: Разложение квадратного трехчлена относительно $x^2$ Рассмотрим выражение во второй скобке: $x^4-2x^2-3$. Это биквадратное выражение. Сделаем замену $t=x^2$ (где $t\ge 0$): $t^2-2t-3$Разложим этот квадратный трехчлен на множители, найдя его корни через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $t_1+t_2=2$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=-3$ Корни: $t_1=3$, $t_2=-1$

Следовательно, $t^2-2t-3=(t-3)(t+1)$. Возвращаемся к переменной $x$: $x^4-2x^2-3=(x^2-3)(x^2+1)$Шаг 5: Итоговый результат Соберем все множители вместе: $(x+1)(x^2-3)(x^2+1)$При необходимости множитель $(x^2-3)$ можно разложить по формуле разности квадратов: $(x+1)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x^2+1)$ Ответ: $(x+1)(x^2-3)(x^2+1)$или $(x+1)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x^2+1)$