Решить ур-ние tg^2x-3tgx=-2

Для решения уравнения ${\tan }^{2}x-3\tan x=-2$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Введение новой переменной Перенесем все члены уравнения в левую часть: ${\tan }^{2}x-3\tan x+2=0$Пусть $\tan x=t$. Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$: $t^2-3t+2=0$2. Решение квадратного уравнения Решим уравнение $t^2-3t+2=0$ через дискриминант или по теореме Виета.

• По теореме Виета:
  Сумма корней $t_1+t_2=3$, произведение $t_1\cdot t_2=2$.
  Корни: $t_1=1$, $t_2=2$. Через дискриминант:
  $D=b^2-4ac=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$
  $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{3\pm 1}{2}$
  $t_1=\frac{4}{2}=2$
  $t_2=\frac{2}{2}=1$

3. Обратная подстановка Теперь вернемся к переменной $x$ и решим два простейших тригонометрических уравнения. Случай 1: $\tan x=1$ $x=\arctan \left(1\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $\tan x=2$ $x=\arctan \left(2\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$(Так как 2 не является табличным значением для тангенса, ответ оставляем через арктангенс). Ответ Общее решение уравнения записывается как совокупность двух множеств значений:

1. $x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\arctan \left(2\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Я могу помочь отобрать корни этого уравнения на заданном промежутке, если это необходимо.