Решить уравнение 8-3x=√x+2

Для решения уравнения $8-3x=\sqrt{x+2}$ воспользуемся методом возведения обеих частей в квадрат. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел: $x+2\ge 0⟹x\ge -2$Также, поскольку корень равен выражению $8-3x$, это выражение тоже должно быть неотрицательным: $8-3x\ge 0⟹3x\le 8⟹x\le \frac{8}{3}\approx 2.67$ Итоговое ограничение для корней: $x\in [-2;2.67]$. 2. Возведение в квадрат Возведем обе части уравнения в квадрат: $(8-3x{)}^2=(\sqrt{x+2}{)}^2$ Применим формулу квадрата разности $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$: $64-48x+9x^2=x+2$Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $9x^2-48x-x+64-2=0$ $9x^2-49x+62=0$3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=(-49{)}^2-4\cdot 9\cdot 62$ $D=2401-2232=169$ $\sqrt{D}=\sqrt{169}=13$ Находим корни по формуле $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ :

1. $x_1=\frac{49+13}{2\cdot 9}=\frac{62}{18}=\frac{31}{9}\approx 3.44$ $x_2=\frac{49-13}{2\cdot 9}=\frac{36}{18}=2$

4. Проверка корней Сопоставим полученные результаты с нашими ограничениями ( $x\le 2.67$):

• $x_1=\frac{31}{9}\approx 3.44$ : Не подходит, так как $3.44>2.67$. Если подставить это число в исходное уравнение, левая часть станет отрицательной ( $8-3\cdot 3.44<0$), а корень не может быть равен отрицательному числу. Это посторонний корень. $x_2=2$: Подходит, так как $2\le 2.67$.

Проверка подстановкой: $8-3\left(2\right)=\sqrt{2+2}$ $8-6=\sqrt{4}$ $2=2$ (Верно) Ответ: $x=2$. Хотите, чтобы я решил другое подобное уравнение или разобрал этот метод подробнее?