Решите неравенсво (x+5)(x-7)/3x-1 >0

Для решения рационального неравенства воспользуемся методом интервалов. 1. Определение функции и нахождение критических точек Рассмотрим функцию: $f\left(x\right)=\frac{(x+5)(x-7)}{3x-1}$ Нам нужно найти значения $x$, при которых $f\left(x\right)>0$. Для этого найдем «нули» числителя и знаменателя.

• Нули числителя (точки, где выражение равно нулю):
  $x+5=0\mathbf{x}\mathbf{=}-5$
  $x-7=0\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{7}$ Нули знаменателя (точки, в которых выражение не существует):
  $3x-1=03x=1\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$

2. Разбиение числовой прямой на интервалы Отметим полученные точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ( $>$), все точки будут выколотыми (пустыми кружками):

1. $(-\infty ;-5)$ $(-5;\frac{1}{3})$ $(\frac{1}{3};7)$ $(7;+\infty )$

3. Определение знаков на интервалах Подставим контрольные значения из каждого промежутка в исходное выражение $f\left(x\right)$:

• Интервал $(7;+\infty )$: возьмем $x=10$.
  $\frac{(10+5)(10-7)}{3\left(10\right)-1}=\frac{15\cdot 3}{29}>0$ (Знак +) Интервал $(\frac{1}{3};7)$ : возьмем $x=1$.
  $\frac{(1+5)(1-7)}{3\left(1\right)-1}=\frac{6\cdot \left(-6\right)}{2}=-18<0$ (Знак –) Интервал $(-5;\frac{1}{3})$ : возьмем $x=0$.
  $\frac{(0+5)(0-7)}{3\left(0\right)-1}=\frac{-35}{-1}=35>0$ (Знак +) Интервал $(-\infty ;-5)$: возьмем $x=-10$.
  $\frac{(-10+5)(-10-7)}{3\left(-10\right)-1}=\frac{-5\cdot \left(-17\right)}{-31}=\frac{85}{-31}<0$ (Знак –)

4. Выбор подходящих промежутков По условию нам необходимы интервалы, где выражение больше нуля ( $>0$). Это интервалы со знаком «+»: $x\in (-5;\frac{1}{3})\cup (7;+\infty )$ Ответ: $(-5;1/3)\cup (7;+\infty )$ Я могу также помочь вам с решением систем неравенств или построением графика этой функции. Хотите рассмотреть аналогичный пример?