Решить уравнение log_2(6-x^2)=log_2 5x

Для решения уравнения ${\log }_2(6-x^2)={\log }_{2}5x$ воспользуемся свойством равенства логарифмов с одинаковым основанием. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1. $6-x^2>0⟹x^2<6⟹-\sqrt{6}<x<\sqrt{6}$ $5x>0⟹x>0$

Объединяя условия, получаем интервал для допустимых значений $x$: $0<x<\sqrt{6}$ (приблизительно $0<x<2.45$) 2. Переход к квадратному уравнению Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $6-x^2=5x$Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартный вид $a{x}^2+bx+c=0$: $x^2+5x-6=0$3. Решение квадратного уравнения Воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом. $D=b^2-4ac=5^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=25+24=49$Находим корни: $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ $x_1=\frac{-5+7}{2}=\frac{2}{2}=1$ $x_2=\frac{-5-7}{2}=\frac{-12}{2}=-6$ 4. Проверка корней по ОДЗ Сравним полученные значения с установленным условием $0<x<\sqrt{6}$ :

• $x_1=1$: Входит в интервал ( $0<1<2.45$). Является корнем. $x_2=-6$: Не входит в интервал ( $-6<0$). Посторонний корень.

Ответ: 1 Хотите, чтобы я решил аналогичное логарифмическое уравнение с другим основанием или переменной в основании?