Выразите log√3(6√a) через b, если log a(27)=b

Для решения данной задачи воспользуемся основными свойствами логарифмов: правилом перехода к новому основанию, вынесением степени за знак логарифма и логарифмом произведения. 1. Выразим $a$ через $b$ Дано условие: ${\log }_a\left(27\right)=b$Так как $27=3^3$, уравнение принимает вид: ${\log }_a\left(3^3\right)=b$ $3{\log }_a\left(3\right)=b$Отсюда выразим ${\log }_a\left(3\right)$: ${\log }_a\left(3\right)=\frac{b}{3}$ Для дальнейших вычислений нам понадобится ${\log }_3\left(a\right)$. Используя свойство ${\log }_x\left(y\right)=\frac{1}{{\log }_y\left(x\right)}$ , получаем: ${\log }_3\left(a\right)=\frac{3}{b}$ 2. Преобразуем искомое выражение Нам нужно выразить: ${\log }_{\sqrt{3}}\left(6\sqrt{a}\right)$ Представим основание и аргумент в виде степеней:

• $\sqrt{3}=3^{1/2}$ $6\sqrt{a}=6\cdot a^{1/2}$

Применим свойство основания ${\log }_{x^n}\left(y\right)=\frac{1}{n}{\log }_x\left(y\right)$ : ${\log }_{3^{1/2}}\left(6\sqrt{a}\right)=\frac{1}{1/2}{\log }_3\left(6\sqrt{a}\right)=2{\log }_3\left(6\sqrt{a}\right)$ Теперь разложим логарифм произведения на сумму логарифмов: $2{\log }_3\left(6\sqrt{a}\right)=2\left({\log }_3\right(6)+{\log }_3(\sqrt{a}\left)\right)$ Разложим $6$ как $2\cdot 3$ и $\sqrt{a}$ как $a^{1/2}$: $2\left({\log }_3\right(2\cdot 3)+{\log }_3(a^{1/2}\left)\right)=2\left({\log }_3\right(2)+{\log }_3(3)+\frac{1}{2}{\log }_3(a\left)\right)$ Подставим значение ${\log }_3\left(3\right)=1$: $2\left({\log }_3\right(2)+1+\frac{1}{2}{\log }_3(a\left)\right)$ 3. Подстановка значения $b$ Ранее мы нашли, что ${\log }_3\left(a\right)=\frac{3}{b}$ . Подставим это в наше выражение: $2\left({\log }_3\right(2)+1+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{b})$ Раскроем скобки: $2{\log }_3\left(2\right)+2+\frac{3}{b}$ Если необходимо привести выражение к общему знаменателю: $\frac{2b{\log }_3\left(2\right)+2b+3}{b}$ Ответ: ${\log }_{\sqrt{3}}\left(6\sqrt{a}\right)=2{\log }_3\left(2\right)+2+\frac{3}{b}$ Хотите, чтобы я привел это выражение к другому виду или помог с похожей задачей на логарифмы?