Решите log2(x²-2x-1)=1

Для решения уравнения ${\log }_2(x^2-2x-1)=1$ воспользуемся определением логарифма и правилами нахождения области допустимых значений (ОДЗ). 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x^2-2x-1>0$Мы проверим это условие в конце, подставив найденные корни в исходное выражение. 2. Переход к квадратному уравнению По определению логарифма ( ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$), уравнение ${\log }_2(x^2-2x-1)=1$ равносильно следующему: $x^2-2x-1=2^1$ $x^2-2x-1=2$Перенесем все члены уравнения в левую часть: $x^2-2x-1-2=0$ $x^2-2x-3=0$3. Решение квадратного уравнения Воспользуемся формулой дискриминанта $D=b^2-4ac$:

• $a=1$ $b=-2$ $c=-3$

$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$ Так как $D>0$, уравнение имеет два корня. Находим их по формуле $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ : $x=\frac{2\pm \sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2\pm 4}{2}$

• Первый корень: $x_1=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3$ Второй корень: $x_2=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

4. Проверка корней (ОДЗ) Подставим найденные значения в выражение под логарифмом $x^2-2x-1$:

1. При $x=3$:
   $3^2-2\left(3\right)-1=9-6-1=2$
   $2>0$ (подходит) При $x=-1$:
   $(-1{)}^2-2(-1)-1=1+2-1=2$
   $2>0$ (подходит)

Оба корня удовлетворяют условию существования логарифма. Ответ: $x_1=3,x_2=-1$. Я могу также помочь вам с решением других логарифмических уравнений или систем уравнений. Желаете продолжить?