Решите неравенство: tg x > 1

Для решения тригонометрического неравенства $\tan x>1$ воспользуемся свойствами функции тангенса и единичной окружностью (или графиком функции). 1. Нахождение базового интервала Рассмотрим один период функции $y=\tan x$, например, интервал $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ .

• На этом интервале функция тангенса возрастает.
• Уравнение $\tan x=1$ имеет корень $x=\frac{\pi }{4}$ . Следовательно, неравенство $\tan x>1$ выполняется, когда аргумент $x$ находится в промежутке:
  $\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2}$

2. Учет периодичности Функция $\tan x$ имеет период $T=\pi$. Это означает, что значения функции повторяются через каждые $\pi$ единиц. Чтобы записать общее решение, необходимо прибавить к границам найденного интервала слагаемое $k\pi$, где $k$ — любое целое число. Общее решение: $\frac{\pi }{4}+k\pi <x<\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 3. Графическая интерпретация Если рассматривать решение на числовой прямой:

• Левая граница ( $\frac{\pi }{4}$ ): Включается в решение как точка, где значение равно 1 (в строгом неравенстве точка выколотая).
• Правая граница ( $\frac{\pi }{2}$ ): Является вертикальной асимптотой, где тангенс не определен (функция стремится к $+\infty$).

Ответ Интервальная запись решения: $x\in (\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi ),k\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь вам решить аналогичные неравенства с другими тригонометрическими функциями или разобрать это же неравенство на конкретном числовом отрезке. Желаете продолжить?