Решите систему 2sin^2x - 5sinx = 0 корень из 6у - 2cosx = 0 ответ: x=2πn, y=2/3

Для решения системы уравнений: $\{\begin{array}{c}2{\sin }^{2}x-5\sin x=0\\ \sqrt{6y}-2\cos x=0\end{array}$ 1. Решение первого уравнения Разложим первое уравнение на множители: $\sin x(2\sin x-5)=0$Это уравнение распадается на две возможности:

1. $\sin x=0$. Отсюда следует $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$. $2\sin x-5=0⟹\sin x=2.5$. Данное уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $\left|\sin x\right|\le 1$.

2. Анализ второго уравнения Второе уравнение системы: $\sqrt{6y}=2\cos x$ Для того чтобы корень имел смысл и уравнение было разрешимо, должны выполняться условия:

• $6y\ge 0⟹y\ge 0$ $2\cos x\ge 0⟹\cos x\ge 0$ (так как значение корня не может быть отрицательным).

3. Отбор корней Из первого шага мы получили $x=\pi k$. Рассмотрим два случая для этого решения, чтобы удовлетворить условию $\cos x\ge 0$:

1. Если $x=2\pi n$ (чётные значения $\pi$), то $\cos \left(2\pi n\right)=1$. Это значение $>0$, подходит. Если $x=\pi +2\pi n$ (нечётные значения $\pi$), то $\cos (\pi +2\pi n)=-1$. Это значение $<0$, что невозможно для уравнения с квадратным корнем.

Следовательно, единственно возможное решение для $x$: $x=2\pi n,n\in \mathbb{Z}$4. Нахождение значения $y$ Подставим полученное значение $\cos x=1$ во второе уравнение: $\sqrt{6y}=2\cdot 1$ $\sqrt{6y}=2$ Возведём обе части в квадрат: $6y=4$ $y=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ Ответ Система уравнений имеет решение $x=2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ и $y=\frac{2}{3}$ . Нужно ли подготовить графическую интерпретацию этих функций для проверки области допустимых значений?