Решите совокупность неравенств [x^21

Для решения данной совокупности неравенств необходимо рассмотреть каждое выражение отдельно, а затем объединить полученные результаты. 1. Решение первого неравенства: $x^2-1\ge 0$ Это квадратное неравенство. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-1)(x+1)\ge 0$

• Корни уравнения: $x_1=1,x_2=-1$. Метод интервалов: Парабола $y=x^2-1$ направлена ветвями вверх. Значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) на внешних промежутках. Интервал: $x\in (-\infty ;-1]\cup [1;+\infty )$.

2. Решение второго неравенства: $x^2-4<0$ Аналогично разложим на множители: $(x-2)(x+2)<0$

• Корни уравнения: $x_1=2,x_2=-2$. Метод интервалов: Парабола $y=x^2-4$ направлена ветвями вверх. Значения функции отрицательны (меньше нуля) на внутреннем промежутке между корнями. Интервал: $x\in (-2;2)$.

3. Объединение решений (Совокупность) Так как дана совокупность (обозначается квадратной скобкой $[$), нам необходимо найти объединение всех полученных промежутков. Это значит, что в ответ пойдут все числа, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств.

1. От первого неравенства имеем: $(-\infty ;-1]\cup [1;+\infty )$. От второго неравенства имеем: $(-2;2)$.

Нанесем их на числовую прямую:

• Промежуток от $-2$ до $2$ полностью «перекрывает» разрыв между $-1$ и $1$. Крайняя левая точка уходит в $-\infty$ (из первого решения). Крайняя правая точка уходит в $+\infty$ (из первого решения).

Таким образом, объединение данных промежутков покрывает всю числовую прямую целиком. Ответ: $x\in (-\infty ;+\infty )$ (или любая действительная переменная $x$). Я могу составить для вас аналогичную систему неравенств (где ищется пересечение, а не объединение) для тренировки, если это будет полезно.