Решите уравнение 2sin(квадрат)x+5cosx=4

Для решения уравнения $2{\sin }^{2}x+5\cos x=4$ воспользуемся тригонометрическими тождествами и методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Используем основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, чтобы привести уравнение к одной функции ( $\cos x$): $2(1-{\cos }^{2}x)+5\cos x=4$Раскроем скобки: $2-2{\cos }^{2}x+5\cos x=4$Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем подобные слагаемые: $-2{\cos }^{2}x+5\cos x-2=0$Для удобства умножим все уравнение на $-1$: $2{\cos }^{2}x-5\cos x+2=0$2. Введение новой переменной Пусть $\cos x=t$. Учитывая область значений косинуса, наложим ограничение: $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение: $2t^2-5t+2=0$3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$Находим корни $t$: $t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ $t_1=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2$ $t_2=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=0.5$ 4. Обратная подстановка Проверим корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

1. $t_1=2$ — не подходит, так как значение косинуса не может превышать 1. $t_2=0.5$ — подходит.

Решим уравнение $\cos x=0.5$: $x=\pm \arccos \left(0.5\right)+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь вам произвести отбор корней этого уравнения на заданном промежутке, если это необходимо. Вы хотите, чтобы я это сделал?