Решите уравнение: 4sin в квадрате x +4cos x - 1=0.

Для решения уравнения $4{\sin }^{2}x+4\cos x-1=0$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. 1. Преобразование уравнения Заменим ${\sin }^{2}x$ в исходном уравнении: $4(1-{\cos }^{2}x)+4\cos x-1=0$Раскроем скобки: $4-4{\cos }^{2}x+4\cos x-1=0$Приведем подобные слагаемые: $-4{\cos }^{2}x+4\cos x+3=0$Для удобства умножим все части уравнения на $-1$: $4{\cos }^{2}x-4\cos x-3=0$2. Введение новой переменной Пусть $\cos x=t$, где $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение: $4t^2-4t-3=0$Найдем дискриминант $D$: $D=(-4{)}^2-4\cdot 4\cdot (-3)=16+48=64$Находим корни уравнения: $t=\frac{4\pm \sqrt{64}}{2\cdot 4}=\frac{4\pm 8}{8}$

• $t_1=\frac{4+8}{8}=\frac{12}{8}=1.5$ $t_2=\frac{4-8}{8}=-\frac{4}{8}=-0.5$

3. Обратная замена Рассмотрим полученные значения для $\cos x$:

1. $\cos x=1.5$
   Так как область значений функции косинус $[-1;1]$, уравнение $\cos x=1.5$ не имеет решений, так как $1.5>1$. $\cos x=-0.5$ (или $-1/2$)
   Это табличное значение. Решим уравнение:
   $x=\pm \arccos (-1/2)+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\pm (\pi -\arccos (1/2\left)\right)+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\pm (\pi -\pi /3)+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$ , где $n$ — любое целое число ( $n\in \mathbb{Z}$). Хотите, чтобы я отобрал корни этого уравнения на определенном числовом промежутке?