(2+sqrt3) ^2x+1 + (2-sqrt3)^2x+1 = 4

Для решения уравнения $(2+\sqrt{3}{)}^{2x+1}+(2-\sqrt{3}{)}^{2x+1}=4$ воспользуемся методом замены переменной, предварительно заметив важную особенность основания степеней. Анализ оснований Заметим, что числа $(2+\sqrt{3})$ и $(2-\sqrt{3})$ являются сопряженными. Найдем их произведение: $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3}{)}^2=4-3=1$ Следовательно, эти числа взаимно обратны: $(2-\sqrt{3})=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=(2+\sqrt{3}{)}^{-1}$ Преобразование уравнения Заменим $(2-\sqrt{3})$ в исходном уравнении: $(2+\sqrt{3}{)}^{2x+1}+{\left(\right(2+\sqrt{3}{)}^{-1})}^{2x+1}=4$ $(2+\sqrt{3}{)}^{2x+1}+\frac{1}{(2+\sqrt{3}{)}^{2x+1}}=4$ Введем замену переменной: Пусть $t=(2+\sqrt{3}{)}^{2x+1}$ , где $t>0$. Уравнение принимает вид: $t+\frac{1}{t}=4$ Умножим обе части на $t$ (так как $t\ne 0$): $t^2-4t+1=0$Решение квадратного уравнения Найдем корни через дискриминант: $D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12$ $\sqrt{D}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ $t_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3}$ Оба значения $t$ положительны, поэтому подходят под условие $t>0$. Обратная замена Рассмотрим два случая: Случай 1: $t=2+\sqrt{3}$ $(2+\sqrt{3}{)}^{2x+1}=(2+\sqrt{3}{)}^1$ Так как основания равны и не равны 1, приравниваем показатели: $2x+1=1$ $2x=0$ $x_1=0$Случай 2: $t=2-\sqrt{3}$ Как мы выяснили ранее, $2-\sqrt{3}=(2+\sqrt{3}{)}^{-1}$ . $(2+\sqrt{3}{)}^{2x+1}=(2+\sqrt{3}{)}^{-1}$ Приравниваем показатели: $2x+1=-1$ $2x=-2$ $x_2=-1$Ответ: $x_1=0;x_2=-1$. Я могу также проверить эти корни подстановкой в исходное выражение или решить аналогичное уравнение с другими коэффициентами, если это потребуется.