Решите уравнение tgx+ctgx=2

Для решения уравнения $\tan x+\cot x=2$ воспользуемся определениями тригонометрических функций и их свойствами. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Функции $\tan x$ и $\cot x$ определены не для всех $x$:

• Для $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ необходимо, чтобы $\cos x\ne 0$, то есть $x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ . Для $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ необходимо, чтобы $\sin x\ne 0$, то есть $x\ne \pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти условия, получаем: $x\ne \frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}$ (угол не должен лежать на осях координат). 2. Преобразование уравнения Перейдем к основным функциям $\sin x$ и $\cos x$: $\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=2$ Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=2$ Используя основное тригонометрическое тождество ( ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$), упрощаем числитель: $\frac{1}{\sin x\cos x}=2$ 3. Решение относительно двойного угла Умножим обе части уравнения на $\sin x\cos x$ (учитывая ОДЗ, знаменатель не равен нулю): $1=2\sin x\cos x$Применим формулу синуса двойного угла ( $2\sin x\cos x=\sin 2x$): $\sin 2x=1$4. Нахождение корней Решим простейшее уравнение для $2x$: $2x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Разделим обе части на 2: $x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ 5. Проверка по ОДЗ Полученные значения $x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\dots$ не совпадают с запрещенными значениями $x=\frac{\pi k}{2}$ (то есть $0,\frac{\pi }{2},\pi ,\dots$ ). Следовательно, все найденные корни являются решениями. Ответ: $x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Хотите, чтобы я решил аналогичное уравнение с другими коэффициентами или показал графическую интерпретацию этого решения?