Решите уравнение в натуральных числах (x+1)(y+1)(z+1)=2xyz

Чтобы решить уравнение $(x+1)(y+1)(z+1)=2xyz$ в натуральных числах ( $x,y,z\in \mathbb{N}$), разделим обе части уравнения на $xyz$. Преобразование уравнения Разделив каждое слагаемое в скобках на соответствующую переменную, мы получим: $(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})=2$ Без потери общности предположим, что $x\le y\le z$. Это позволит нам ограничить область поиска значений, так как при увеличении переменных значение левой части уменьшается. Оценка минимальной переменной Если $x\ge 3$, то: $(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})\le {(1+\frac{1}{3})}^3={\left(\frac{4}{3}\right)}^3=\frac{64}{27}\approx 2.37$ Это не исключает $x=3$, но давайте проверим нижнюю границу. Если $x$ будет слишком большим, произведение не достигнет $2$. Если $x=1$ или $x=2$ или $x=3$: Случай 1: $x=1$ Подставим $x=1$ в исходное уравнение: $(1+1)(y+1)(z+1)=2\left(1\right)yz$ $2(y+1)(z+1)=2yz$ $(y+1)(z+1)=yz$ $yz+y+z+1=yz$ $y+z+1=0$Так как $y,z\ge 1$, это уравнение не имеет решений в натуральных числах. Случай 2: $x=2$ Подставим $x=2$: $(2+1)(y+1)(z+1)=2\left(2\right)yz$ $3(y+1)(z+1)=4yz$ $3(yz+y+z+1)=4yz$ $3yz+3y+3z+3=4yz$ $yz-3y-3z=3$Добавим $9$ к обеим частям, чтобы разложить на множители (метод Симона): $y(z-3)-3(z-3)=3+9$ $(y-3)(z-3)=12$Учитывая наше условие $x\le y\le z$ (значит $y\ge 2$), найдем пары множителей числа $12$:

1. $y-3=1,z-3=12⟹\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{z}\mathbf{=}15$ $y-3=2,z-3=6⟹\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{z}\mathbf{=}\mathbf{9}$ $y-3=3,z-3=4⟹\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{z}\mathbf{=}\mathbf{7}$

Случай 3: $x=3$ Подставим $x=3$: $(3+1)(y+1)(z+1)=2\left(3\right)yz$ $4(y+1)(z+1)=6yz$ $2(y+1)(z+1)=3yz$ $2yz+2y+2z+2=3yz$ $yz-2y-2z=2$ Применяем тот же метод (добавляем $4$): $(y-2)(z-2)=6$ Так как $y\ge x=3$, то $y-2\ge 1$:

1. $y-2=1,z-2=6⟹y=3,z=8$ (Подходит: $\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{z}\mathbf{=}\mathbf{8}$) $y-2=2,z-2=3⟹y=4,z=5$ (Подходит: $\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{z}\mathbf{=}\mathbf{5}$)

Случай 4: $x=4$ Если $x=4$, то ${(1+\frac{1}{4})}^3={1.25}^3=1.953125$ . Так как $1.953125<2$, при $x\ge 4$ и условии $x\le y\le z$ левая часть всегда будет меньше $2$. Следовательно, других решений нет. Итоговый ответ Решениями являются все перестановки следующих наборов $(x,y,z)$:

• $(2,4,15)$ $(2,5,9)$ $(2,6,7)$ $(3,3,8)$ $(3,4,5)$

Всего существует 27 упорядоченных троек (с учетом перестановок координат). Хотите, чтобы я проверил какое-то конкретное решение из списка подстановкой в исходное уравнение?