С какой скоростью должен в момент старта ракеты вылететь снаряд из пушки, чтобы поразить ракету, стартующую вертикально с ускорением a ? расстояние от пушки до места старта ракеты равно l , пушка стреляет под углом 45 ∘ к горизонту.

Для того чтобы снаряд поразил ракету, его начальная скорость должна составлять ${\mathbf{v}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{g}\mathbf{)}\mathbf{l}}$ . ️ Шаг 1: Описание движения тел Ракета стартует из точки с координатой $x=l$ и движется вертикально вверх с ускорением $a$. Ее координата $y$ в момент времени $t$ описывается уравнением: $y_R=\frac{a{t}^2}{2}$ Снаряд вылетает из начала координат $(0,0)$ под углом $\alpha ={45}^{\circ }$ с начальной скоростью $v_0$. Его координаты в момент времени $t$ описываются уравнениями: $x_S=v_{0}t\cos \alpha$ $y_S=v_{0}t\sin \alpha -\frac{g{t}^2}{2}$ ️ Шаг 2: Условие встречи объектов Для того чтобы снаряд поразил ракету в момент времени $T$, их координаты должны совпасть: $x_S\left(T\right)=l$ и $y_S\left(T\right)=y_R\left(T\right)$. Из первого уравнения найдем время полета до ракеты: $v_{0}T\cos \alpha =lT=\frac{l}{v_0\cos \alpha }$ Подставим $T$ во второе условие: $v_0\sin \alpha \left(\frac{l}{v_0\cos \alpha }\right)-\frac{g}{2}{\left(\frac{l}{v_0\cos \alpha }\right)}^2=\frac{a}{2}{\left(\frac{l}{v_0\cos \alpha }\right)}^2$ ️ Шаг 3: Нахождение начальной скорости Упростим полученное выражение, учитывая, что $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha$ : $l\tan \alpha =\frac{a+g}{2}\cdot \frac{l^2}{v_0^2{\cos }^2\alpha }$ Сократим на $l$ и выразим $v_0^2$: $v_0^2=\frac{(a+g)l}{2\tan \alpha {\cos }^2\alpha }$ Используя тригонометрическое тождество $2\tan \alpha {\cos }^2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =\sin \left(2\alpha \right)$, получаем: $v_0=\sqrt{\frac{(a+g)l}{\sin \left(2\alpha \right)}}$ Так как по условию $\alpha ={45}^{\circ }$, то $\sin \left(2\alpha \right)=\sin \left({90}^{\circ }\right)=1$. Следовательно: $v_0=\sqrt{(a+g)l}$ Ответ: Начальная скорость снаряда должна быть ${\mathbf{v}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{g}\mathbf{)}\mathbf{l}}$ . Хотите рассмотреть случай, когда угол выстрела также является неизвестной величиной для минимизации затрат энергии?