Сколькими нулями оканчивается число 2014 факториал ?

Чтобы определить, сколькими нулями оканчивается число $2014!$ (факториал числа 2014), необходимо подсчитать, сколько раз в разложении этого числа на простые множители встречается число 10. Поскольку $10=2\times 5$, количество нулей зависит от того, сколько раз пары из двоек и пятерок встречаются в произведении всех чисел от 1 до 2014. Так как двоек в этом ряду значительно больше, чем пятерок, количество нулей будет в точности равно количеству множителей 5. Для решения используется формула Лежандра: $Z=\lfloor \frac{n}{5^1}\rfloor +\lfloor \frac{n}{5^2}\rfloor +\lfloor \frac{n}{5^3}\rfloor +\dots$ где $\lfloor x\rfloor$ — это целая часть числа $x$. Пошаговый расчет для $n=2014$:

1. Делим на 5:
   $\lfloor \frac{2014}{5}\rfloor =402$
   (Это количество чисел от 1 до 2014, которые делятся на 5 хотя бы один раз). Делим на $5^2$ (на 25):
   $\lfloor \frac{2014}{25}\rfloor =80$
   (Это количество чисел, которые делятся на 25 и приносят вторую дополнительную пятерку). Делим на $5^3$ (на 125):
   $\lfloor \frac{2014}{125}\rfloor =16$
   (Это количество чисел, делящихся на 125 и приносящих третью пятерку). Делим на $5^4$ (на 625):
   $\lfloor \frac{2014}{625}\rfloor =3$
   (Это числа 625, 1250 и 1875). Делим на $5^5$ (на 3125):
   $\lfloor \frac{2014}{3125}\rfloor =0$
   (Так как $3125>2014$, на этом шаге и далее результат всегда будет равен 0).

Итоговая сумма: $Z=402+80+16+3=501$Ответ: Число 2014! оканчивается 501 нулем. Хотите, я помогу вам рассчитать количество нулей для любого другого большого числа или объясню, как работает формула Лежандра для других простых множителей?