Вычислить определенные интегралы 1 )интеграл от 0 до п xsinxdx 2)интеграл от 0 до п^2(п в квадрате) cos x^1/2 (то есть х под корнем ) 3)интеграл от 0 до 9 в числителе х^1/2(то есть под корнем) дробь в знаменателе 1+х^1/2(то есть под корнем) 4)интеграл от 4 до 9 в числителе y-1 в знаменвтеле y^1/2(то есть под корнем) +1

Результатами вычислений являются: 1) $\mathbf{\pi }$, 2) $-4$, 3) $\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{4}\ln \mathbf{2}$, 4) $23\mathbf{/}\mathbf{3}$. Шаг 1: Интегрирование первого выражения по частям Для вычисления ${\int }_0^{\pi }x\sin xdx$ применим формулу $\int udv=uv-\int vdu$. Пусть $u=x$ и $dv=\sin xdx$. Тогда $du=dx$, а $v=-\cos x$. $[-x\cos x{]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }(-\cos x)dx=(-\pi \cos \pi -\left(-0\cos 0\right))+[\sin x{]}_0^{\pi }$Так как $\cos \pi =-1$ и $\sin \pi =0$, получаем: $\pi +(0-0)=\pi$Ответ: $\mathbf{\pi }$ Шаг 1: Замена переменной и интегрирование по частям Для ${\int }_0^{{\pi }^2}\cos \sqrt{x}dx$ введем замену $t=\sqrt{x}$ , тогда $x=t^2$ и $dx=2tdt$. Границы интегрирования: если $x=0$, то $t=0$; если $x={\pi }^2$, то $t=\pi$. ${\int }_0^{\pi }2t\cos tdt=2{\int }_0^{\pi }t\cos tdt$Применим интегрирование по частям: $u=t,dv=\cos tdt⟹du=dt,v=\sin t$. $2\left(\right[t\sin t{]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }\sin tdt)=2(0-[-\cos t{]}_0^{\pi })=2(\cos \pi -\cos 0)=2(-1-1)=-4$Ответ: $-4$ Шаг 1: Замена переменной и выделение целой части Для ${\int }_0^9\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx$ пусть $t=\sqrt{x}$ , тогда $x=t^2,dx=2tdt$. Границы: от $0$ до $3$. ${\int }_0^3\frac{t}{1+t}2tdt=2{\int }_0^3\frac{t^2}{t+1}dt$ Разделим $t^2$ на $t+1$: $\frac{t^2-1+1}{t+1}=t-1+\frac{1}{t+1}$ . $2[\frac{t^2}{2}-t+\ln (t+1){]}_0^3=2(\frac{9}{2}-3+\ln 4-0)=2(1.5+\ln 4)=3+2\ln 4=3+4\ln 2$ Ответ: $\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{4}\ln \mathbf{2}$ Шаг 1: Упрощение по формуле разности квадратов Заметим, что $y-1=(\sqrt{y}-1)(\sqrt{y}+1)$ . Тогда подынтегральное выражение $\frac{y-1}{\sqrt{y}+1}=\sqrt{y}-1$ . ${\int }_4^9(\sqrt{y}-1)dy=[\frac{2}{3}{y}^{3/2}-y{]}_4^9$ Вычислим в границах: $(\frac{2}{3}\cdot 27-9)-(\frac{2}{3}\cdot 8-4)=(18-9)-(\frac{16}{3}-\frac{12}{3})=9-\frac{4}{3}=\frac{27-4}{3}=\frac{23}{3}$ Ответ: $23\mathbf{/}\mathbf{3}$ Нужно ли проверить какое-то из решений с помощью численных методов или разобрать другие типы замен?