Составить график функции у=х^2(х-3)

Для построения графика функции $y=x^2(x-3)$ необходимо провести полное исследование, определив точки пересечения с осями, экстремумы и интервалы монотонности. График представляет собой кубическую параболу, которая проходит через начало координат $(0;0)$, имеет локальный максимум в точке $(0;0)$, локальный минимум в точке $(2;-4)$ и пересекает ось абсцисс в точке $(3;0)$. ️ Шаг 1: Область определения и точки пересечения с осями Функция $y=x^3-3x^2$ является многочленом, поэтому её область определения — все действительные числа $x\in (-\infty ;+\infty )$. Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью $Oy$: при $x=0$, $y=0^2(0-3)=0$. Точка $(0;0)$. С осью $Ox$: при $y=0$, $x^2(x-3)=0$. Отсюда $x_1=0$ (корень кратности 2, график касается оси) и $x_2=3$. Точки $(0;0)$ и $(3;0)$.

️ Шаг 2: Исследование на экстремумы и монотонность Найдем производную функции: $y^{\prime }=(x^3-3x^2{)}^{\prime }=3x^2-6x$ Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $3x(x-2)=0⟹x_1=0,x_2=2$ Определим знаки производной на интервалах:

1. $(-\infty ;0)$: $y^{\prime }>0$ — функция возрастает. $(0;2)$: $y^{\prime }<0$ — функция убывает. $(2;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ — функция возрастает.

Вычислим значения функции в точках экстремума:

• $y_{max}=y\left(0\right)=0$ $y_{min}=y\left(2\right)=2^2(2-3)=-4$

️ Шаг 3: Исследование на выпуклость и точки перегиба Найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }=(3x^2-6x{)}^{\prime }=6x-6$ Приравняем к нулю: $6x-6=0⟹x=1$.

• При $x<1$, $y^{\prime \prime }<0$ — график функции выпуклый вверх. При $x>1$, $y^{\prime \prime }>0$ — график функции выпуклый вниз (вогнутый).
  Точка перегиба: $y\left(1\right)=1^2(1-3)=-2$. Координаты: $(1;-2)$.

Ответ: График функции $y=x^2(x-3)$ строится по следующим ключевым точкам:

1. Точки пересечения с осями: $(0;0)$ и $(3;0)$. Локальный максимум: $(0;0)$. Локальный минимум: $(2;-4)$. Точка перегиба: $(1;-2)$.
   На интервале $(-\infty ;0)$ функция растет до нуля, на $(0;2)$ убывает до $-4$, и на $(2;+\infty )$ неограниченно растет.

Нужно ли вам рассчитать дополнительные значения функции для более точного построения кривой по точкам?