Cos^2(x)+6sin(x)-6=0

Для решения уравнения ${\cos }^2\left(x\right)+6\sin \left(x\right)-6=0$ воспользуемся тригонометрическими тождествами и методами алгебраической подстановки. 1. Приведение к одной функции Используем основное тригонометрическое тождество: ${\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)=1⟹{\cos }^2\left(x\right)=1-{\sin }^2\left(x\right)$Подставим это выражение в исходное уравнение: $(1-{\sin }^2(x\left)\right)+6\sin \left(x\right)-6=0$2. Упрощение уравнения Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $1-{\sin }^2\left(x\right)+6\sin \left(x\right)-6=0$ $-{\sin }^2\left(x\right)+6\sin \left(x\right)-5=0$Для удобства умножим все уравнение на $-1$: ${\sin }^2\left(x\right)-6\sin \left(x\right)+5=0$3. Введение новой переменной Пусть $t=\sin \left(x\right)$, где $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение: $t^2-6t+5=0$4. Решение квадратного уравнения Найдем корни через дискриминант $D$: $D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$ $\sqrt{D}=4$ Вычислим значения $t$: $t_1=\frac{6+4}{2}=\frac{10}{2}=5$ $t_2=\frac{6-4}{2}=\frac{2}{2}=1$ 5. Обратная подстановка Проверим полученные корни с учетом ограничения $\left|t\right|\le 1$:

• Для $t_1=5$:
  Уравнение $\sin \left(x\right)=5$ не имеет решений, так как область значений функции синус — от $-1$ до $1$. Для $t_2=1$:
  $\sin \left(x\right)=1$Это частный случай тригонометрического уравнения. Точка, в которой синус равен единице на единичной окружности, соответствует углу $\frac{\pi }{2}$ .

$x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Я могу также помочь с отбором корней на конкретном промежутке, если это необходимо.