Tg2x/sinx=0 решить уравнение

Для решения уравнения $\frac{\text{tg}\left(2x\right)}{\sin \left(x\right)}=0$ необходимо рассмотреть условия существования функций и равенство числителя нулю. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Дробь имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю, а тангенс определен.

1. Знаменатель не равен нулю: $\sin \left(x\right)\ne 0⟹x\ne \pi n,n\in \mathbb{Z}$. Аргумент тангенса: $\cos \left(2x\right)\ne 0$ (так как $\text{tg}\left(\alpha \right)=\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)}$ ).
   $2x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n⟹x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$

2. Решение уравнения Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: $\text{tg}\left(2x\right)=0$Используем формулу для нулей тангенса: $2x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}$ 3. Отбор корней с учетом ОДЗ Проанализируем полученную серию решений $x=\frac{\pi k}{2}$ при различных значениях $k$:

• Если $k$ чётное ( $k=2n$):
  $x=\frac{\pi \cdot 2n}{2}=\pi n$ Эти значения противоречат ОДЗ ( $\sin \left(x\right)\ne 0$). Данные корни посторонние. Если $k$ нечётное ( $k=2n+1$):
  $x=\frac{\pi (2n+1)}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi n$ Проверим эти значения по второму условию ОДЗ ( $x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}$ ). Точки вида $\frac{\pi }{2}+\pi n$ не совпадают с точками $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}$ . Следовательно, они являются решениями.

Ответ: $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь вам решить другие тригонометрические уравнения или разобрать графики этих функций. Хотите, чтобы я решил еще один пример?