В треугольной пирамиде плоские углы при вершине равны α,α,β. боковое ребро, являющееся общей стороной равных углов, перпендикулярно к плоскости основания и равно а. найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Question

В треугольной пирамиде плоские углы при вершине равны α,α,β. боковое ребро, являющееся общей стороной равных углов, перпендикулярно к плоскости основания и равно а. найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

SwimmerMick 08.03.2026 09:26

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Площадь боковой поверхности пирамиды равна $S_{б о к} = \frac{a^{2} (\sin 2 α + \sin β)}{2 \cos^{2} α} cap S sub б о к end-sub equals the fraction with numerator a squared open paren sine 2 alpha plus sine beta close paren and denominator 2 cosine squared alpha end-fraction$ . ️ Шаг 1: Определение сторон боковых граней Пусть $S cap S$ — вершина пирамиды, а $S A cap S cap A$ — ребро, перпендикулярное плоскости основания $A B C cap A cap B cap C$ . По условию $S A cap S cap A$ является общей стороной равных плоских углов, следовательно, $∠ A S B = α angle cap A cap S cap B equals alpha$ и $∠ A S C = α angle cap A cap S cap C equals alpha$ . Третий угол при вершине $∠ B S C = β angle cap B cap S cap C equals beta$ . Так как $S A ⟂ (A B C) cap S cap A ⟂ open paren cap A cap B cap C close paren$ , то $S A ⟂ A B cap S cap A ⟂ cap A cap B$ и $S A ⟂ A C cap S cap A ⟂ cap A cap C$ , то есть треугольники $S A B cap S cap A cap B$ и $S A C cap S cap A cap C$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $A cap A$ . Из треугольника $S A B cap S cap A cap B$ : $A B = a \tan α cap A cap B equals a tangent alpha$ $S B = \frac{a}{\cos α} cap S cap B equals the fraction with numerator a and denominator cosine alpha end-fraction$ Из треугольника $S A C cap S cap A cap C$ : $A C = a \tan α cap A cap C equals a tangent alpha$ $S C = \frac{a}{\cos α} cap S cap C equals the fraction with numerator a and denominator cosine alpha end-fraction$ ️ Шаг 2: Вычисление площадей боковых граней Боковая поверхность состоит из трех треугольников: $S A B cap S cap A cap B$ , $S A C cap S cap A cap C$ и $S B C cap S cap B cap C$ .

Площади прямоугольных треугольников $S A B cap S cap A cap B$ и $S A C cap S cap A cap C$ равны:
$S_{S A B} = S_{S A C} = \frac{1}{2} \cdot S A \cdot A B = \frac{1}{2} a^{2} \tan α cap S sub cap S cap A cap B end-sub equals cap S sub cap S cap A cap C end-sub equals one-half center dot cap S cap A center dot cap A cap B equals one-half a squared tangent alpha$ Треугольник $S B C cap S cap B cap C$ имеет две известные стороны $S B cap S cap B$ и $S C cap S cap C$ и угол $β beta$ между ними. Его площадь:
$S_{S B C} = \frac{1}{2} \cdot S B \cdot S C \cdot \sin β = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\cos α} \cdot \frac{a}{\cos α} \cdot \sin β = \frac{a^{2} \sin β}{2 \cos^{2} α} cap S sub cap S cap B cap C end-sub equals one-half center dot cap S cap B center dot cap S cap C center dot sine beta equals one-half center dot the fraction with numerator a and denominator cosine alpha end-fraction center dot the fraction with numerator a and denominator cosine alpha end-fraction center dot sine beta equals the fraction with numerator a squared sine beta and denominator 2 cosine squared alpha end-fraction$

️ Шаг 3: Нахождение полной площади боковой поверхности Суммируем площади всех боковых граней: $S_{б о к} = 2 \cdot (\frac{1}{2} a^{2} \tan α) + \frac{a^{2} \sin β}{2 \cos^{2} α} = a^{2} \tan α + \frac{a^{2} \sin β}{2 \cos^{2} α} cap S sub б о к end-sub equals 2 center dot open paren one-half a squared tangent alpha close paren plus the fraction with numerator a squared sine beta and denominator 2 cosine squared alpha end-fraction equals a squared tangent alpha plus the fraction with numerator a squared sine beta and denominator 2 cosine squared alpha end-fraction$ Приведем выражение к общему знаменателю, используя формулу $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} tangent alpha equals the fraction with numerator sine alpha and denominator cosine alpha end-fraction$ : $S_{б о к} = \frac{2 a^{2} \sin α \cos α + a^{2} \sin β}{2 \cos^{2} α} cap S sub б о к end-sub equals the fraction with numerator 2 a squared sine alpha cosine alpha plus a squared sine beta and denominator 2 cosine squared alpha end-fraction$ Используя формулу двойного угла $\sin 2 α = 2 \sin α \cos α sine 2 alpha equals 2 sine alpha cosine alpha$ , получаем: $S_{б о к} = \frac{a^{2} (\sin 2 α + \sin β)}{2 \cos^{2} α} cap S sub б о к end-sub equals the fraction with numerator a squared open paren sine 2 alpha plus sine beta close paren and denominator 2 cosine squared alpha end-fraction$ Ответ: $S_{б о к} = \frac{a^{2} (\sin 2 α + \sin β)}{2 \cos^{2} α} cap S sub б о к end-sub equals the fraction with numerator bold a squared open paren sine 2 bold alpha plus sine bold beta close paren and denominator 2 cosine squared bold alpha end-fraction$ Требуется ли вам произвести расчет для конкретных значений $α alpha$ и $β beta$ или рассмотреть случай, когда другое ребро перпендикулярно основанию?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов