В прямоугольном треугольнике abc с прямым углом c, тангенс внешнего угла при вершине a равен −3*корень из10/20, сторона bc равна 3. найдите сторону ab.

Для решения задачи воспользуемся определениями тригонометрических функций и связью между внутренними и внешними углами треугольника. 1. Связь внешнего и внутреннего угла Пусть $\alpha$ — внутренний угол при вершине $A$, а ${\alpha }_{ext}$ — внешний угол при этой же вершине. Известно, что $\alpha +{\alpha }_{ext}={180}^{\circ }$. Согласно свойствам тригонометрических функций: $\text{tg}\left(\alpha \right)=\text{tg}({180}^{\circ }-{\alpha }_{ext})=-\text{tg}\left({\alpha }_{ext}\right)$По условию $\text{tg}\left({\alpha }_{ext}\right)=-\frac{3\sqrt{10}}{20}$ . Следовательно: $\text{tg}\left(A\right)=-(-\frac{3\sqrt{10}}{20})=\frac{3\sqrt{10}}{20}$ 2. Нахождение синуса угла A В прямоугольном треугольнике $\text{tg}\left(A\right)=\frac{BC}{AC}$ . Чтобы найти гипотенузу $AB$, нам удобнее выразить $\sin \left(A\right)$, так как $\sin \left(A\right)=\frac{BC}{AB}$ . Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1+{\text{tg}}^2\left(A\right)=\frac{1}{{\cos }^2\left(A\right)}$ :

1. Вычисляем квадрат тангенса:
   ${\text{tg}}^2\left(A\right)={\left(\frac{3\sqrt{10}}{20}\right)}^2=\frac{9\cdot 10}{400}=\frac{90}{400}=\frac{9}{40}$ Находим ${\cos }^2\left(A\right)$:
   $\frac{1}{{\cos }^2\left(A\right)}=1+\frac{9}{40}=\frac{49}{40}⟹{\cos }^2\left(A\right)=\frac{40}{49}$ Находим ${\sin }^2\left(A\right)$, используя основное тождество ${\sin }^2\left(A\right)+{\cos }^2\left(A\right)=1$:
   ${\sin }^2\left(A\right)=1-\frac{40}{49}=\frac{9}{49}$ $\sin \left(A\right)=\sqrt{\frac{9}{49}}=\frac{3}{7}$ (берем положительное значение, так как угол острый).

3. Вычисление стороны AB Используя определение синуса для прямоугольного треугольника: $\sin \left(A\right)=\frac{BC}{AB}$ Подставляем известные значения ( $BC=3$, $\sin \left(A\right)=\frac{3}{7}$ ): $\frac{3}{7}=\frac{3}{AB}$ Отсюда следует: $AB=7$ Ответ: 7 Хотите, я помогу составить аналогичную задачу для закрепления материала или разберу другой геометрический вопрос?