В цилиндр вписана правильная треугольная призма найдите. объем призмы, если радиус основания цилиндра равен √2 , а его образующая равна √3

Объем правильной треугольной призмы, вписанной в данный цилиндр, равен $4.5$. 1. Определение параметров призмы Так как правильная треугольная призма вписана в цилиндр, ее высота $H$ совпадает с образующей цилиндра, а основание представляет собой правильный треугольник, вписанный в окружность основания цилиндра.

• Радиус описанной окружности основания $R=\sqrt{2}$ . Высота призмы $H=\sqrt{3}$ .

2. Вычисление площади основания Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник. Сторона $a$ правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности $R$ по формуле: $a=R\sqrt{3}$ Подставим значение радиуса: $a=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$ Площадь правильного треугольника $S_{осн}$ вычисляется по формуле: $S_{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ Подставим значение стороны: $S_{осн}=\frac{(\sqrt{6}{)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{6\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 3. Нахождение объема призмы Объем призмы $V$ равен произведению площади ее основания на высоту: