Все геометрические фигуры, поверхности которых являются плоскими

Геометрические фигуры, ограниченные исключительно плоскими гранями, называются многогранниками. В евклидовом пространстве такие фигуры состоят из вершин, ребер и плоских полигональных граней. Ниже приведена подробная классификация таких фигур. 1. Выпуклые многогранники Это наиболее распространенный класс фигур, где любая линия, соединяющая две точки фигуры, полностью находится внутри неё.

• Платоновы тела (Правильные многогранники): Все грани являются одинаковыми правильными многоугольниками, а в каждой вершине сходится одинаковое количество ребер.
  • Тетраэдр: 4 треугольные грани.
  • Гексаэдр (Куб): 6 квадратных граней.
  • Октаэдр: 8 треугольных граней.
  • Додекаэдр: 12 пятиугольных граней.
  • Икосаэдр: 20 треугольных граней.
• Архимедовы тела: Полуправильные многогранники, грани которых состоят из двух или более типов правильных многоугольников, но вершины остаются идентичными. Примеры: усеченный куб, ромбокубооктаэдр.
• Призмы: Имеют два параллельных основания (равные многоугольники) и боковые грани в форме параллелограммов (или прямоугольников в случае прямой призмы).
• Антипризмы: Похожи на призмы, но основания повернуты относительно друг друга, а боковые грани являются треугольниками.
• Пирамиды: Основание — произвольный многоугольник, а боковые грани — треугольники, сходящиеся в одной общей вершине (апексе).
• Бипирамиды: Состоят из двух пирамид, соединенных общим основанием.
• Тела Джонсона: Выпуклые многогранники, грани которых являются правильными многоугольниками, но которые не относятся к вышеуказанным категориям (всего 92 вида).

2. Невыпуклые (Звездчатые) многогранники Фигуры, имеющие углубления или пересекающиеся грани.

• Тела Кеплера — Пуансо: Правильные невыпуклые многогранники. К ним относятся малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.
• Звездчатые формы: Получаются путем продления граней выпуклых многогранников до их пересечения.

3. Сводная таблица основных характеристик Для классических многогранников действует формула Эйлера, связывающая количество вершин ( $V$), ребер ( $E$) и граней ( $F$): $V-E+F=2$

4. Вырожденные и бесконечные случаи

• Многоугольники (2D): В двумерном пространстве плоскими фигурами являются все многоугольники (треугольник, квадрат, пятиугольник и т.д.).
• Плоскости и полуплоскости: В теоретической геометрии рассматриваются как бесконечные поверхности без кривизны.
• Паркеты (Тилинги): Бесконечные плоские структуры, состоящие из примыкающих друг к другу многоугольников, заполняющих плоскость без пробелов.

Я могу составить для вас таблицу с расчетом количества вершин, ребер и граней для любого конкретного типа многогранника или подготовить описание алгоритма для вычисления их объема и площади поверхности. Напишите, если это необходимо.