Log2(x-5)+log2(x+2)=3

Для решения уравнения ${\log }_2(x-5)+{\log }_2(x+2)=3$ воспользуемся свойствами логарифмов и определим область допустимых значений (ОДЗ). 1. Определение ОДЗ Выражения под знаком логарифма должны быть строго больше нуля:

• $x-5>0⟹x>5$ $x+2>0⟹x>-2$

Общее условие: $x>5$. 2. Преобразование уравнения Используем свойство суммы логарифмов: ${\log }_a\left(b\right)+{\log }_a\left(c\right)={\log }_a(b\cdot c)$. ${\log }_2\left(\right(x-5\left)\right(x+2\left)\right)=3$По определению логарифма ( ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$): $(x-5)(x+2)=2^3$ $(x-5)(x+2)=8$3. Решение квадратного уравнения Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: $x^2+2x-5x-10=8$ $x^2-3x-18=0$Воспользуемся теоремой Виета или формулой дискриминанта: $D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-18)=9+72=81$ $x=\frac{3\pm \sqrt{81}}{2}=\frac{3\pm 9}{2}$ Получаем два корня:

1. $x_1=\frac{3+9}{2}=6$
2. $x_2=\frac{3-9}{2}=-3$

4. Проверка по ОДЗ

• $x_1=6$: Условие $x>5$ выполняется. Корень подходит. $x_2=-3$: Условие $x>5$ не выполняется (при подстановке в исходное уравнение под логарифмом получится отрицательное число). Корень является посторонним.

Ответ: $x=6$ Хотите, чтобы я решил аналогичное уравнение с другим основанием логарифма?