Вычислить объём тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями: y=4x-x^2, y=0

Объём тела вращения, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси $Ox$, составляет $\frac{512\mathbf{\pi }}{15}$ кубических единиц. Шаг 1: Определение пределов интегрирования Для нахождения точек пересечения графика функции $y=4x-x^2$ с осью $Ox$ ( $y=0$), решим уравнение: $4x-x^2=0$Вынося общий множитель за скобки, получим $x(4-x)=0$. Отсюда корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=4$. Таким образом, пределами интегрирования являются $a=0$ и $b=4$. Шаг 2: Составление интеграла для вычисления объёма Объём тела вращения вокруг оси $Ox$ вычисляется по формуле: $V=\pi {\int }_a^b\left[f\right(x){]}^{2}dx$Подставим заданную функцию и найденные пределы: $V=\pi {\int }_0^4(4x-x^2{)}^{2}dx$Разложим подынтегральное выражение по формуле квадрата разности: $(4x-x^2{)}^2=16x^2-8x^3+x^4$Шаг 3: Вычисление определенного интеграла Интегрируем полученное многочленное выражение: $\int (16x^2-8x^3+x^4)dx=\frac{16x^3}{3}-\frac{8x^4}{4}+\frac{x^5}{5}=\frac{16x^3}{3}-2x^4+\frac{x^5}{5}$ Применим формулу Ньютона-Лейбница на отрезке $[0,4]$: $V=\pi [\frac{16(4{)}^3}{3}-2(4{)}^4+\frac{(4{)}^5}{5}]-\pi [0]$ Выполним арифметические расчеты: $V=\pi [\frac{1024}{3}-512+\frac{1024}{5}]=\pi \left[\frac{5120-7680+3072}{15}\right]=\frac{512\pi }{15}$ Ответ: Объём тела вращения равен \frac{512\pi}{15} (или примерно 34,13\pi). Требуется ли вам построение графика данной фигуры или расчет объема при вращении вокруг оси Oy?