Найдите производную функции y=2^tgx

Для нахождения производной функции $y=2^{\tan x}$ воспользуемся правилом дифференцирования показательной функции и цепным правилом (производная сложной функции). Основные формулы Для решения нам понадобятся следующие табличные производные:

1. Показательная функция: $(a^u{)}^{\prime }=a^u\cdot \ln a\cdot u^{\prime }$ Тангенс: $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

Пошаговое решение

1. Определяем структуру функции:
   Данная функция является сложной, где внешней функцией выступает показательная $a^u$ (при $a=2$), а внутренней — тригонометрическая $u=\tan x$. Применяем формулу производной показательной функции:
   $y^{\prime }=(2^{\tan x}{)}^{\prime }=2^{\tan x}\cdot \ln 2\cdot (\tan x{)}^{\prime }$ Вычисляем производную внутренней функции:
   Производная тангенса равна $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ . Подставляем это значение в выражение:
   $y^{\prime }=2^{\tan x}\cdot \ln 2\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}$ Записываем итоговый результат:
   Для удобства объединим множители в одну дробь:
   $y^{\prime }=\frac{2^{\tan x}\cdot \ln 2}{{\cos }^{2}x}$

Ответ: $y^{\prime }=\frac{2^{\tan x}\ln 2}{{\cos }^{2}x}$ Я могу также помочь вам найти производную для более сложных комбинаций функций или вычислить значение этой производной в конкретной точке. Хотите продолжить?