Найти интервал возрастания и убывания функции: y=x^2×lnx

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции $y=x^2\ln x$, необходимо исследовать знак её первой производной. 1. Область определения функции Поскольку функция содержит натуральный логарифм $\ln x$, выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля: $D\left(y\right):x\in (0;+\infty )$ 2. Нахождение производной Используем правило дифференцирования произведения $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$: $y^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }\cdot \ln x+x^2\cdot (\ln x{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=2x\ln x+x^2\cdot \frac{1}{x}$ $y^{\prime }=2x\ln x+x$Вынесем $x$ за скобки для удобства анализа: $y^{\prime }=x(2\ln x+1)$ 3. Критические точки Приравняем производную к нулю, учитывая область определения ( $x>0$): $x(2\ln x+1)=0$Так как $x\ne 0$, решаем уравнение: $2\ln x+1=0$ $\ln x=-\frac{1}{2}$ $x=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}}$ Приблизительное значение: $x\approx \frac{1}{1.65}\approx 0.606$ . 4. Определение знаков производной Разделим область определения $(0;+\infty )$ точкой $x=e^{-1/2}$ на два интервала и определим знак $y^{\prime }$ на каждом из них:

1. Интервал $(0;e^{-1/2})$:
   Возьмем пробную точку $x=e^{-1}\approx 0.37$.
   $y^{\prime }\left(e^{-1}\right)=e^{-1}(2\ln e^{-1}+1)=e^{-1}(2\cdot (-1)+1)=-e^{-1}<0$.
   Производная отрицательна — функция убывает. Интервал $(e^{-1/2};+\infty )$:
   Возьмем пробную точку $x=1$.
   $y^{\prime }\left(1\right)=1(2\ln 1+1)=1(0+1)=1>0$.
   Производная положительна — функция возрастает.

Ответ

• Функция убывает на интервале: $(0;e^{-1/2}]$ Функция возрастает на интервале: $[e^{-1/2};+\infty )$

(Примечание: Точка $e^{-1/2}$ обычно включается в оба промежутка, так как функция в ней непрерывна). Я могу также вычислить координаты точки экстремума (минимума) этой функции, если это необходимо для вашего исследования. Хотите, чтобы я это сделал? Good response Bad response