Исследуйте функцию на монотонность: y=sinx-3x

Для исследования функции $y=\sin x-3x$ на монотонность воспользуемся методами дифференциального исчисления. 1. Область определения Функция определена на всей числовой прямой: $D\left(y\right)=(-\infty ;+\infty )$2. Нахождение производной Для определения интервалов монотонности необходимо найти первую производную функции: $y^{\prime }=(\sin x-3x{)}^{\prime }$Используя правила дифференцирования: $y^{\prime }=\cos x-3$3. Анализ знака производной Чтобы выяснить, возрастает или убывает функция, нужно определить знак $y^{\prime }$ на всей области определения.

• Из свойств тригонометрических функций известно, что область значений косинуса ограничена:
  $-1\le \cos x\le 1$ Вычтем 3 из всех частей неравенства, чтобы получить выражение для производной:
  $-1-3\le \cos x-3\le 1-3$ $-4\le y^{\prime }\le -2$

Следовательно, для любого значения $x$ производная функции всегда отрицательна: $y^{\prime }<0$4. Вывод о монотонности Согласно достаточному условию монотонности функции:

• Если $y^{\prime }<0$ на некотором интервале, то функция строго убывает на этом интервале.

Так как $y^{\prime }\le -2$ для всех $x\in \mathbb{R}$, функция $y=\sin x-3x$ является строго убывающей на всей области определения $(-\infty ;+\infty )$. Итоговый ответ Функция монотонно убывает на всём множестве действительных чисел. Хотите, чтобы я провел полное исследование этой функции, включая поиск точек перегиба и экстремумов?