Вычислите значение производной y=tg4x в точне x0= -пи/4

Чтобы найти значение производной функции $y=\tan \left(4x\right)$ в точке $x_0=-\frac{\pi }{4}$ , выполним расчет пошагово. 1. Нахождение производной функции Данная функция является сложной функцией вида $y=f\left(u\right)$, где $u=g\left(x\right)$. В нашем случае $f\left(u\right)=\tan \left(u\right)$ и $u=4x$. Применим правило дифференцирования сложной функции: $y^{\prime }=\left(\tan \right(4x){)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^2\left(4x\right)}\cdot (4x{)}^{\prime }$ Так как производная $(4x{)}^{\prime }=4$, получаем общую формулу производной: $y^{\prime }=\frac{4}{{\cos }^2\left(4x\right)}$ 2. Подстановка значения $x_0$ Теперь подставим заданное значение $x_0=-\frac{\pi }{4}$ в полученное выражение для производной:

1. Вычислим аргумент косинуса:
   $4\cdot (-\frac{\pi }{4})=-\pi$ Найдем значение косинуса в этой точке:
   $\cos (-\pi )=-1$ Возведем полученное значение в квадрат:
   ${\cos }^2(-\pi )=(-1{)}^2=1$

3. Итоговый расчет Подставляем все данные в формулу производной: $y^{\prime }(-\frac{\pi }{4})=\frac{4}{1}=4$ Ответ: 4 Если вам необходимо, я могу составить таблицу производных для других тригонометрических функций или разобрать нахождение производной более сложной функции.