Найдите точку минимума функции y=(x-7)^2*e^x-4

Для нахождения точки минимума функции $y=(x-7{)}^2\cdot e^{x-4}$ необходимо выполнить стандартный алгоритм исследования функции с помощью производной. 1. Нахождение производной функции Данная функция представляет собой произведение двух функций: $u=(x-7{)}^2$ и $v=e^{x-4}$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$:

1. Производная первого множителя: $\left(\right(x-7{)}^2{)}^{\prime }=2(x-7)$. Производная второго множителя: $(e^{x-4}{)}^{\prime }=e^{x-4}\cdot (x-4{)}^{\prime }=e^{x-4}$.

Теперь составим общую производную: $y^{\prime }=2(x-7)\cdot e^{x-4}+(x-7{)}^2\cdot e^{x-4}$2. Упрощение выражения Для удобства анализа вынесем общий множитель $(x-7)e^{x-4}$ за скобки: $y^{\prime }=e^{x-4}\cdot (x-7)\cdot [2+(x-7\left)\right]$ $y^{\prime }=e^{x-4}\cdot (x-7)\cdot (x-5)$3. Поиск критических точек Приравняем производную к нулю: $e^{x-4}\cdot (x-7)\cdot (x-5)=0$Так как показательная функция $e^{x-4}$ всегда больше нуля при любых значениях $x$, уравнение сводится к: $(x-7)(x-5)=0$Отсюда получаем две критические точки:

• $x_1=5$ $x_2=7$

4. Определение знаков производной и поиск минимума Разбиваем числовую прямую на интервалы и определяем знак производной на каждом из них:

• Интервал $(-\infty ;5)$: Возьмем $x=0$. Знаки множителей: $(+)\cdot (-)\cdot (-)=(+)$. Функция возрастает. Интервал $(5;7)$: Возьмем $x=6$. Знаки множителей: $(+)\cdot (-)\cdot (+)=(-)$. Функция убывает. Интервал $(7;+\infty )$: Возьмем $x=8$. Знаки множителей: $(+)\cdot (+)\cdot (+)=(+)$. Функция возрастает.

Анализ точек:

• В точке $x=5$ производная меняет знак с плюса на минус — это точка максимума. В точке $x=7$ производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.

Ответ: 7 Хотите, чтобы я рассчитал значение функции в этой точке или нашел экстремумы для другой функции?