Выполните действия над числами в тригонометрической форме и представьте результат в алгебраической и показательной форме (-3-√3 i)^4

Для возведения комплексного числа в степень воспользуемся формулой Муавра. Сначала переведем число из алгебраической формы в тригонометрическую. 1. Перевод числа в тригонометрическую форму Дано число $z=-3-\sqrt{3}i$ .

• Находим модуль $r$:
  $r=\left|z\right|=\sqrt{(-3{)}^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ Находим аргумент $\varphi$:
  Число находится в III четверти (так как $x<0$ и $y<0$).
  $\tan \alpha =\left|\frac{y}{x}\right|=\frac{\sqrt{3}}{3}⟹\alpha =\frac{\pi }{6}$ Для III четверти: $\varphi =-\pi +\alpha$ (или $\pi +\alpha$):
  $\varphi =-\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}$ Тригонометрическая форма:
  $z=2\sqrt{3}(\cos (-\frac{5\pi }{6})+i\sin (-\frac{5\pi }{6}))$

2. Возведение в 4-ю степень (Формула Муавра) Формула Муавра: $z^n=r^n\left(\cos \right(n\varphi )+i\sin (n\varphi \left)\right)$.

• Вычисляем $r^4$:
  $r^4=(2\sqrt{3}{)}^4=2^4\cdot (\sqrt{3}{)}^4=16\cdot 9=144$ Вычисляем аргумент $4\varphi$:
  $4\varphi =4\cdot (-\frac{5\pi }{6})=-\frac{20\pi }{6}=-\frac{10\pi }{3}$ Приведем к главному значению (прибавим $2\pi \cdot 2=4\pi =\frac{12\pi }{3}$ ):
  $-\frac{10\pi }{3}+\frac{12\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$ Результат в тригонометрической форме:
  $z^4=144(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})$

3. Представление результата в требуемых формах Алгебраическая форма Вычислим значения синуса и косинуса: $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $z^4=144(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=-72+72\sqrt{3}i$ Показательная форма Используем формулу $z=r{e}^{i\varphi }$: $z^4=144e^{i\frac{2\pi }{3}}$ Итоговый ответ:

• Алгебраическая форма: $-72+72\sqrt{3}i$ Показательная форма: $144e^{i\frac{2\pi }{3}}$

Хотите, чтобы я проверил аналогичные вычисления для другого комплексного числа?