(х^2-6х+8)/(х-1)-(х-4)/(х^2-3х+2) 《0

Для решения неравенства $\frac{x^2-6x+8}{x-1}-\frac{x-4}{x^2-3x+2}\le 0$ выполним последовательные преобразования. 1. Разложение выражений на множители Для начала разложим квадратные трехчлены в числителе и знаменателе на множители.

• Числитель первой дроби: $x^2-6x+8$. Корни по теореме Виета: $2$ и $4$.
  $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$ Знаменатель второй дроби: $x^2-3x+2$. Корни: $1$ и $2$.
  $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$

2. Преобразование неравенства Подставим разложенные выражения в исходное неравенство: $\frac{(x-2)(x-4)}{x-1}-\frac{x-4}{(x-1)(x-2)}\le 0$ Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$: $\frac{(x-2)(x-4)\cdot (x-2)-(x-4)}{(x-1)(x-2)}\le 0$ $\frac{(x-4)\left(\right(x-2{)}^2-1)}{(x-1)(x-2)}\le 0$ 3. Упрощение числителя Разложим выражение $(x-2{)}^2-1$ как разность квадратов: $(x-2{)}^2-1^2=(x-2-1\left)\right(x-2+1)=(x-3\left)\right(x-1)$Теперь подставим это обратно в дробь: $\frac{(x-4)(x-3)(x-1)}{(x-1)(x-2)}\le 0$ 4. Сокращение и область допустимых значений (ОДЗ) Важно помнить, что знаменатель не может быть равен нулю: ОДЗ: $x\ne 1$ и $x\ne 2$. Сократим дробь на $(x-1)$, учитывая ограничение $x\ne 1$: $\frac{(x-4)(x-3)}{x-2}\le 0$ 5. Метод интервалов Найдем критические точки, в которых выражение меняет знак:

• Числитель равен нулю при: $x=3,x=4$. Знаменатель равен нулю при: $x=2$. Точка из ОДЗ: $x=1$ (в ней знак не меняется, так как множитель был в квадрате относительно исходного выражения, но она должна быть выколота).

Расставим знаки на промежутках для функции $f\left(x\right)=\frac{(x-4)(x-3)}{x-2}$ :

1. $(-\infty ;1)$: возьмем $x=0\frac{\left(-4\right)\left(-3\right)}{-2}=-6$ (—) $(1;2)$: возьмем $x=1.5\frac{\left(-2.5\right)\left(-1.5\right)}{-0.5}=-7.5$ (—) $(2;3]$: возьмем $x=2.5\frac{\left(-1.5\right)\left(-0.5\right)}{0.5}=1.5$ (+) $[3;4]$: возьмем $x=3.5\frac{\left(-0.5\right)\left(0.5\right)}{1.5}=-0.16$ (—) $[4;+\infty )$: возьмем $x=5\frac{\left(1\right)\left(2\right)}{3}=0.66$ (+)

Нам подходят промежутки, где выражение $\le 0$. Ответ: $x\in (-\infty ;1)\cup (1;2)\cup [3;4]$ Я могу также составить аналогичное задание для закрепления темы или подробно разобрать метод интервалов на другом примере. Хотите?