Решить уравнение: 1/2lg(x2+x-5)=lg5x+lg1/5x

Для решения уравнения $\frac{1}{2}\lg (x^2+x-5)=\lg \left(5x\right)+\lg \left(\frac{1}{5x}\right)$ необходимо последовательно выполнить преобразования, учитывая область допустимых значений (ОДЗ). 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1. $x^2+x-5>0$ $5x>0⟹x>0$ $\frac{1}{5x}>0⟹x>0$

Из условий (2) и (3) следует, что $x>0$. Проверим первое условие позже, подставив найденные корни. 2. Преобразование правой части уравнения Используем свойство суммы логарифмов $\lg a+\lg b=\lg (a\cdot b)$: $\lg \left(5x\right)+\lg \left(\frac{1}{5x}\right)=\lg (5x\cdot \frac{1}{5x})=\lg \left(1\right)$ Так как $\lg \left(1\right)=0$, уравнение принимает вид: $\frac{1}{2}\lg (x^2+x-5)=0$ 3. Решение уравнения Умножим обе части на 2: $\lg (x^2+x-5)=0$По определению логарифма (или используя свойство $\lg 1=0$): $x^2+x-5={10}^0$ $x^2+x-5=1$ $x^2+x-6=0$4. Нахождение корней квадратного уравнения Решим через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней $x_1+x_2=-1$ Произведение корней $x_1\cdot x_2=-6$

Корни уравнения: $x_1=2$ $x_2=-3$ 5. Проверка по ОДЗ

1. Для $x=2$:
   • $x>0$ (выполняется) $x^2+x-5=2^2+2-5=1>0$ (выполняется) Корень подходит.
2. Для $x=-3$:
   • $x>0$ (не выполняется) Корень не подходит.

Ответ: $x=2$. Хотите, чтобы я решил похожую задачу с логарифмами или разобрал другое уравнение?