Решить неравенство sin2x+2sinx>0

Для решения неравенства $\sin 2x+2\sin x>0$ воспользуемся тригонометрическими формулами и методом интервалов на тригонометрическом круге. 1. Преобразование выражения Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$: $2\sin x\cos x+2\sin x>0$Вынесем общий множитель $2\sin x$ за скобки: $2\sin x(\cos x+1)>0$Разделим обе части на 2: $\sin x(\cos x+1)>0$2. Анализ множителей Рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. Множитель $(\cos x+1)$:
   Известно, что значение косинуса всегда лежит в пределах от $-1$ до $1$. Следовательно, выражение $\cos x+1$ всегда неотрицательно ( $\ge 0$).
   • Оно равно нулю только когда $\cos x=-1$, то есть при $x=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$. Во всех остальных точках $\cos x+1>0$.
   Условие строгого неравенства:
   Так как неравенство строгое ( $>0$), произведение не может быть равно нулю. Это значит:
   • $\sin x\ne 0$ $\cos x+1\ne 0⟹x\ne \pi +2\pi k$

3. Решение системы Поскольку второй множитель $(\cos x+1)$ почти всегда положителен, знак всего произведения зависит только от первого множителя $\sin x$. Неравенство $\sin x(\cos x+1)>0$ равносильно системе: $\{\begin{array}{c}\sin x>0\\ \cos x+1\ne 0\end{array}$

1. Решаем $\sin x>0$:
   Синус положителен в I и II четвертях тригонометрического круга:
   $0+2\pi k<x<\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Исключаем точки, где $\cos x+1=0$:
   Точка $x=\pi +2\pi k$ является правой границей полученного интервала. Поскольку неравенство для синуса уже строгое, эта точка и так не входит в решение.

Ответ Область значений $x$, удовлетворяющих неравенству: $2\pi k<x<\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$В формате промежутка: $x\in (2\pi k;\pi +2\pi k),k\in \mathbb{Z}$Хотите, чтобы я разобрал решение аналогичного неравенства с косинусом?