1) докажите, что функция f(x) есть первообразная для f(x), если f(x)=1/x^2 +5x+sin⁡x+2 и f(x)=-2/x^3 +5+cos⁡x

Функция $F\left(x\right)=\frac{1}{x^2}+5x+\sin x+2$ является первообразной для функции $f\left(x\right)=-\frac{2}{x^3}+5+\cos x$ , так как производная первой функции тождественно равна второй функции на всей области определения. ️ Шаг 1: Нахождение производной функции F(x) Для того чтобы доказать, что одна функция является первообразной для другой, необходимо вычислить производную предполагаемой первообразной. Используем правила дифференцирования суммы и табличные производные. Представим первое слагаемое в виде степени: $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$ . Вычисляем производную: $F^{\prime }\left(x\right)=(x^{-2}+5x+\sin x+2{)}^{\prime }$Применяем правило производной суммы: $F^{\prime }\left(x\right)=(x^{-2}{)}^{\prime }+(5x{)}^{\prime }+(\sin x{)}^{\prime }+(2{)}^{\prime }$Вычисляем каждое слагаемое отдельно:

1. Для $x^n$ производная равна $n{x}^{n-1}$, следовательно: $(x^{-2}{)}^{\prime }=-2x^{-2-1}=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$ Производная линейной функции: $(5x{)}^{\prime }=5$ Производная тригонометрической функции: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ Производная константы: $(2{)}^{\prime }=0$

Собираем результат: $F^{\prime }\left(x\right)=-\frac{2}{x^3}+5+\cos x$ ️ Шаг 2: Сравнение результата с функцией f(x) Сравним полученное выражение $F^{\prime }\left(x\right)$ с заданной функцией $f\left(x\right)$: $F^{\prime }\left(x\right)=-\frac{2}{x^3}+5+\cos x$ $f\left(x\right)=-\frac{2}{x^3}+5+\cos x$ Поскольку $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$ для всех $x$ из области определения (где $x\ne 0$), по определению первообразной функция $F\left(x\right)$ является первообразной для $f\left(x\right)$. Ответ: Утверждение доказано: производная функции $F\left(x\right)=\frac{1}{x^2}+5x+\sin x+2$ равна $f\left(x\right)=-\frac{2}{x^3}+5+\cos x$ , что является достаточным условием. Нужно ли вам найти общее решение для семейства всех первообразных этой функции или вычислить значение в конкретной точке?