1) найти площадь равностороннего треугольника ,если его высота равна 6см. 2 )найти площадь прямоугольного треугольника,если его острые углы относятся как 1:2, а гипотенуза равна 8см. 3) периметр прямоугольника 40м,площадь 36 м квадратных ,найти стороны прямоугольника. 4) в прямоугольном треугольнике один из катетов равен 5см,а тангенс противолежащего к нему угла равен 1,25 ,найти второй катет

1. Площадь равностороннего треугольника составляет $12\sqrt{3}$ см².
2. Площадь прямоугольного треугольника равна $8\sqrt{3}$ см².
3. Стороны прямоугольника равны 18 м и 2 м.
4. Второй катет равен 4 см.

Шаг 1: Нахождение площади равностороннего треугольника Для равностороннего треугольника высота $h$ и сторона $a$ связаны формулой $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Отсюда сторона $a=\frac{2h}{\sqrt{3}}$ . Подставим значение $h=6$: $a=\frac{2\cdot 6}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\text{см}$ Площадь треугольника вычисляется по формуле $S=\frac{1}{2}ah$ : $S=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 6=12\sqrt{3}{\text{см}}^2$ Шаг 2: Нахождение площади прямоугольного треугольника Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна ${90}^{\circ }$. Пусть один угол $x$, тогда второй $2x$: $x+2x={90}^{\circ }⟹3x={90}^{\circ }⟹x={30}^{\circ }$Углы треугольника равны ${30}^{\circ }$ и ${60}^{\circ }$. Катет $a$, лежащий против угла ${30}^{\circ }$, равен половине гипотенузы $c=8$: $a=\frac{8}{2}=4\text{см}$ Второй катет $b$ найдем через гипотенузу и $\cos {30}^{\circ }$: $b=c\cdot \cos {30}^{\circ }=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{см}$ Площадь $S=\frac{1}{2}ab$ : $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}{\text{см}}^2$ Шаг 3: Нахождение сторон прямоугольника Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр $P=2(a+b)=40$, откуда $a+b=20$, или $b=20-a$. Площадь $S=ab=36$. Составим уравнение: $a(20-a)=36⟹a^2-20a+36=0$По теореме Виета корни уравнения: $a_1=18,a_2=2$Если $a=18$, то $b=2$. Если $a=2$, то $b=18$. Стороны равны 18 м и 2 м. Шаг 4: Нахождение второго катета В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Пусть известный катет $a=5$ см, а противолежащий ему угол $\alpha$, тогда $\tan \alpha =\frac{a}{b}$ , где $b$ — искомый второй катет. $1,25=\frac{5}{b}⟹b=\frac{5}{1,25}$ $b=4\text{см}$Ответ:

1. $12\sqrt{3}$ см²; 2) $8\sqrt{3}$ см²; 3) 18 м и 2 м; 4) 4 см.

Нужны ли вам дополнительные задачи на расчет элементов треугольника или геометрические доказательства по этим темам?