1)sin(arctg 2 +arctg3) 2)tg(arcsin1/3+arccos1/4)

Для решения подобных задач используются тригонометрические формулы сложения углов и взаимосвязь между обратными тригонометрическими функциями. 1) Вычисление $\sin (\arctan 2+\arctan 3)$ Пусть $\alpha =\arctan 2$ и $\beta =\arctan 3$. Тогда $\tan \alpha =2$ и $\tan \beta =3$. Нам необходимо найти $\sin (\alpha +\beta )$. Шаг 1: Формула сложения $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$Шаг 2: Нахождение синусов и косинусов через тангенс Так как $\alpha$ и $\beta$ — это углы, тангенсы которых положительны, они лежат в первой четверти ( $0<\alpha ,\beta <\pi /2$). Используем формулы: $\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^{2}x}},\sin x=\frac{\tan x}{\sqrt{1+{\tan }^{2}x}}$

• Для $\alpha$:
  $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$
  $\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{1+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ Для $\beta$:
  $\cos \beta =\frac{1}{\sqrt{1+3^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$
  $\sin \beta =\frac{3}{\sqrt{1+3^2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$

Шаг 3: Подстановка в формулу $\sin (\alpha +\beta )=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{2+3}{\sqrt{50}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 2) Вычисление $\tan (\arcsin \frac{1}{3}+\arccos \frac{1}{4})$ Пусть $\alpha =\arcsin \frac{1}{3}$ и $\beta =\arccos \frac{1}{4}$ . Тогда $\sin \alpha =\frac{1}{3}$ и $\cos \beta =\frac{1}{4}$ . Нам нужно найти $\tan (\alpha +\beta )$. Шаг 1: Формула тангенса суммы $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$ Шаг 2: Нахождение тангенсов Оба угла $\alpha$ и $\beta$ лежат в первой четверти, так как их аргументы положительны.

• Находим $\tan \alpha$:
  $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-(\frac{1}{3}{)}^2}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
  $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1/3}{2\sqrt{2}/3}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ Находим $\tan \beta$:
  $\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\sqrt{1-(\frac{1}{4}{)}^2}=\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$
  $\tan \beta =\frac{\sin \beta }{\cos \beta }=\frac{\sqrt{15}/4}{1/4}=\sqrt{15}$

Шаг 3: Подстановка в формулу $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{15}}{1-\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot \sqrt{15}}=\frac{\frac{\sqrt{2}+4\sqrt{15}}{4}}{\frac{4-\sqrt{30}}{4}}=\frac{\sqrt{2}+4\sqrt{15}}{4-\sqrt{30}}$ Для избавления от иррациональности в знаменателе (опционально) можно умножить на сопряженное, но в тригонометрии такой вид часто является конечным. Ответ: $\frac{\sqrt{2}+4\sqrt{15}}{4-\sqrt{30}}$ Могу помочь с вычислением производных этих функций или решением аналогичных тригонометрических уравнений.