8^х-3*4^х+(9*4^х-288/2^х-9) меньше или равно 32

Решением неравенства является $x=1$ и $x\in [3,{\log }_{2}9)$. Шаг 1: Введение новой переменной Заметим, что все степени в выражении можно привести к основанию $2$: $8^x=(2^x{)}^3$, $4^x=(2^x{)}^2$. Пусть $t=2^x$, при этом $t>0$. Перепишем исходное неравенство через переменную $t$: $t^3-3t^2+\frac{9t^2-288}{t-9}\le 32$ Шаг 2: Приведение к общему знаменателю Перенесем число $32$ в левую часть и приведем выражение к общему знаменателю $t-9$, учитывая ограничение $t\ne 9$: $\frac{(t^3-3t^2)(t-9)+9t^2-288-32(t-9)}{t-9}\le 0$ Раскроем скобки в числителе: $(t^4-9t^3-3t^3+27t^2)+9t^2-288-32t+288\le 0$ $t^4-12t^3+36t^2-32t\le 0$Шаг 3: Разложение числителя на множители Вынесем $t$ за скобки и разложим многочлен в скобках: $t(t^3-12t^2+36t-32)\le 0$Заметим, что при $t=2$ выражение в скобках равно $8-48+72-32=0$. Разделив многочлен на $(t-2)$, получим: $t(t-2)(t^2-10t+16)\le 0$Разложив квадратный трехчлен $t^2-10t+16$, имеем $(t-2)(t-8)$. Итоговое неравенство: $\frac{t(t-2{)}^2(t-8)}{t-9}\le 0$ Шаг 4: Решение методом интервалов и обратная замена Так как $t=2^x>0$, множитель $t$ всегда положителен. Выражение $(t-2{)}^2$ всегда неотрицательно и равно нулю при $t=2$. Основной знак неравенства зависит от выражения $\frac{t-8}{t-9}$ .

1. При $t=2$: $0\le 0$ (верно). $\frac{t-8}{t-9}\le 08\le t<9$ .

Выполним обратную замену:

1. $2^x=2\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{1}$ $8\le 2^x<9{\log }_{2}8\le x<{\log }_{2}9\mathbf{3}\mathbf{\le }\mathbf{x}\mathbf{<}{\log }_{\mathbf{2}}\mathbf{9}$

Ответ: $x=1,x\in [3,{\log }_{2}9)$ Нужно ли подготовить аналогичный пример для закрепления метода замены переменной в показательных неравенствах?