2sin(4п/3-x)-sin(4п/3+x)=0решить уравнение

Для решения уравнения $2\sin (\frac{4\pi }{3}-x)-\sin (\frac{4\pi }{3}+x)=0$ воспользуемся формулами синуса разности и синуса суммы углов:

• $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$ $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

1. Раскрытие скобок Подставим $\alpha =\frac{4\pi }{3}$ и $\beta =x$ в формулы: $2(\sin \frac{4\pi }{3}\cos x-\cos \frac{4\pi }{3}\sin x)-(\sin \frac{4\pi }{3}\cos x+\cos \frac{4\pi }{3}\sin x)=0$ 2. Упрощение выражения Раскроем внешние скобки и приведем подобные слагаемые: $2\sin \frac{4\pi }{3}\cos x-2\cos \frac{4\pi }{3}\sin x-\sin \frac{4\pi }{3}\cos x-\cos \frac{4\pi }{3}\sin x=0$ $\sin \frac{4\pi }{3}\cos x-3\cos \frac{4\pi }{3}\sin x=0$ 3. Подстановка табличных значений Найдем значения тригонометрических функций для угла $\frac{4\pi }{3}$ (III четверть):

• $\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$

Подставим эти значения в уравнение: $(-\frac{\sqrt{3}}{2})\cos x-3(-\frac{1}{2})\sin x=0$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{3}{2}\sin x=0$ 4. Решение однородного уравнения Умножим все уравнение на $2$, чтобы избавиться от знаменателей: $-\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0$ Разделим обе части уравнения на $\cos x$ (при условии, что $\cos x\ne 0$, так как если $\cos x=0$, то и $\sin x$ должен быть равен $0$, что невозможно по основному тригонометрическому тождеству): $-\sqrt{3}+3\frac{\sin x}{\cos x}=0$ $3\tan x=\sqrt{3}$ $\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 5. Нахождение корней Зная, что $\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ соответствует углу $\frac{\pi }{6}$ , запишем общее решение: $x=\frac{\pi }{6}+\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Хотите, чтобы я отобрал корни этого уравнения на конкретном промежутке?